1、A. B1 C2 D2答案A解析由(1i)2i,可得1i,所以z1i,|z|.3设aln,b20.3,c2,则()Aacb BcabCabc Dbc解析由对数函数的性质可知aln1,又0c21,故选A.4设R,则“”是“sin”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由可得0,所以由“”可得“sin”,但由“sin”推不出“”所以“”的充分不必要条件5在如图所示的计算1592021的程序框图中,判断框内应填入的条件是()Ai2021? Bi2021?Ci0,0,|的部分图象如图所示,则使f(ax)f(ax)0成立的a的最小正值为()A. B. C. D.答
2、案B解析由图象易知,A2,f(0)1,即2sin1,且|,得0,所以k1,2,所以函数f(x)2sin,因为f(ax)f(ax)0,所以函数f(x)的图象关于xa对称,即有2ak,kZ,所以可得a,kZ,所以a的最小正值为.9若函数f(x)是定义在R上的奇函数,f1,当x0时,f(x)log2(x)m,则实数m()A1 B0 C1 D2解析f(x)是定义在R上的奇函数,f1,且x0,b0)的左、右顶点分别为A,B,P为双曲线左支上一点,ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a,则双曲线的离心率为()解析由题意知等腰ABP中,|AB|AP|2a,设ABPAPB,F1为双曲线的左焦点,则F1AP2,其
3、中必为锐角ABP外接圆的半径为a,2a,sin,cos,sin22,cos2221.设点P的坐标为(x,y),则xa|AP|cos2,y|AP|sin2,故点P的坐标为.由点P在双曲线上,得1,整理得,e .12德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”:yf(x)其中R为实数集,Q为有理数集则关于函数f(x)有如下四个命题:ff(x)0;函数f(x)是偶函数;任取一个不为零的有理数T,f(xT)f(x)对任意的xR恒成立;存在三个点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得ABC为等
4、边三角形其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析当x为有理数时,f(x)1;当x为无理数时,f(x)0.当x为有理数时,ff(x)f(1)1;当x为无理数时,ff(x)f(0)1,无论x是有理数还是无理数,均有ff(x)1,故不正确;有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,对任意xR,都有f(x)f(x),故正确;当TQ时,若x是有理数,则xT也是有理数;若x是无理数,则xT也是无理数,根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(xT)f(x)对xR恒成立,故正确;取x1,x20,x3,f(x1)0,f(x2)1,f(x3)0,A,B(0,1),C,ABC恰好为等边三角
5、形,故正确,故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13已知x,y满足约束条件x,yR,则x2y2的最大值为_答案8解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)x2y2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方由图形可得,可行域内的点A或点B到原点的距离最大,且A(2,2),B(2,2),又|OA|OB|2,(x2y2)max8.14设直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在同一个球面上,且球的表面积是40,ABACAA1,BAC120,则此直三棱柱的高
6、是_答案2解析设ABACAA1x,在ABC中,BAC120,则由余弦定理可得BCx.由正弦定理,可得ABC外接圆的半径为rx,又球的表面积是40,球的半径为R.设ABC外接圆的圆心为O,球心为O,在RtOBO中,有2x210,解得x2,即AA12.直三棱柱的高是2.15七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图,在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是_答案解析由七巧板的构造可知,BICGOH,故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等,而S梯形EF
7、OHSDOFS正方形ABDFS正方形ABDF,所求的概率为P.16在数列an中,a11,an1Sn3n(nN*,n1),则数列Sn的通项公式为_答案Sn3n2n解析an1Sn3nSn1Sn,Sn12Sn3n,1,又11,数列是首项为,公比为的等比数列,1n1n,Sn3n2n.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且bcosAsinA(acosCccosA)(1)求角A的大小;(2)若a2,ABC的面积为,求ABC的周长解(1)bcosAsinA(acosCccosA),由正弦定理可得,sinBcosA
8、sinA(sinAcosCsinCcosA)sinAsin(AC)sinAsinB,即sinBcosAsinAsinB,sinB0,tanA,A(0,),A.(2)A,a2,ABC的面积为,bcsinAbc,bc5,由余弦定理可得,a2b2c22bccosA,即12b2c2bc(bc)23bc(bc)215,解得bc3,ABC的周长为abc235.18(本小题满分12分)如图,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,ABAD1,AEBC2.(1)求证:BF平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角EBDF的余弦值为,求线段CF的长解依题意,可以建立以A为坐标
9、原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)设CFh(h0),则F(1,2,h)(1)证明:依题意,(1,0,0)是平面ADE的法向量,又(0,2,h),可得0,又因为直线BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)依题意,(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)设n(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨令z1,可得n(2,2,1)因此有cos,n.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x,y,z)为平面BDF的法向量,则即不妨令y1,可得m.由题意
10、,有|cosm,n|,解得h.经检验,符合题意所以线段CF的长为.19(本小题满分12分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧记AFG,CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标解(1)由题意得1,即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG)令yA2t,2t0,则xAt2.由于直线AB过F,故直线AB的方程为xy1,代入y24x,得y2
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