非线性控制系统分析Word格式.docx
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死区对系统运动特性的影响：
可见：
非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2.饱和（如运算放大器，学习效率等等）
饱和对系统运动特性的影响：
进入饱和后等效K↓
3.间隙：
（如齿轮，磁性体的磁带特性等）
间隙对系统影响：
1）间隙宽度有死区的特点----使
2）相当于一个延迟τ时间的延迟环节,振荡性
减小间隙的因素的方法：
（1）提高齿轮精度；
（2）采用双片齿轮；
（3）用校正装置补偿。
4.摩擦（如手指擦纸）
摩擦引起慢爬现象的机理
改善慢变化过程平稳性的方法
摩擦对系统运动的影响：
影响系统慢速运动的平稳性
5.继电特性：
对系统运动的影响：
7.2相平面法基础（适用于二阶系统）
1.相平面相轨迹
二阶非线性系统运动方程：
――定常非线性运动方程
即：
Ø
相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。
它不仅能给出系统的稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图象。
二维空间（平面）上表示点的运动的概念，可以扩展到N维空间中去。
1.相平面：
由构成的，用以描述系统运动特性的平面。
相轨迹：
随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。
例：
欠阻尼二阶系统响应的相平面描述----相轨迹
系统方程为求相轨迹方程。
解：
得：
――椭圆方程
系统特征方程：
特征根：
（中心点）
平衡点（奇点）：
自控演示实验x-y记录仪所画的相轨迹：
2.二阶系统极点分布，奇点类型及相轨迹形式（见挂图）
自由运动方程范围极点位置奇点名称
注：
1）.奇点=平衡点=各阶导数为0之点;
2）.实极点数值=特殊相轨迹的斜率;
3）.
例1.系统方程为：
作相轨迹
解：
原方程＝
即：
3.利用线性系统（二阶）奇点性质概略地作出一类二阶非线性系统的相轨迹。
例2.系统运动方程：
，作出其相轨迹。
原方程：
解
（1）：
――稳定焦点
解
（2）：
――鞍点
作图，可见初始条件≠0时自由运动结果总发散（向负方向）
例3.系统运动方程：
，作相轨迹。
作图：
见下页：
可见：
系统自由运动总是稳定的：
奇点为一线段［-1，1］，依初始条件不同，
最终可以稳定在［-1，1］之间任一点上。
例4.系统运动方程为求出全部平衡点，并分析其特性。
令
∴平衡点
当
∵在平衡点附近变化时，是小量，与等价。
∴原方程为
平衡点颁布及其附近的相轨迹：
4.相轨迹作图法（解析法，等斜线法，图弧法）
（1）等倾斜线法：
系统方程为：
得出等斜线方程：
给定不同的值，画出不同的等斜线，在上面画出斜率等于相应的短线，可以构成相轨迹切线的方向场。
由此可画出非线性运动的相轨迹。
4.等倾斜线法
例1，系统如右，用等倾斜线法作系统相轨迹。
解：
对线性部分：
Ⅰ：
Ⅲ：
，同上讨论可得：
1
∞
-3
-2
Ⅰ：
2
-1
Ⅲ：
Ⅱ：
画出等斜线并作出相轨迹见3号图：
系统自由运动分析：
（1）自由运动收敛，最终达到稳定。
（2）最终平衡位置
例2，在例1中，将非线性特性改为纯滞环继电特性。
画等斜线（同例1,ⅠⅢ区）作相轨迹见6号图
系统自由运动分析：
自由运动的最终状态是自振（对应有一个极限环）
名类极限环（见挂图）
7.3 描述函数法
1.描述函数一般概念
如右图示：
对非线性环节输入正弦信号
一般地输入是一个周期信号
对于理想的继电特性输出
可以把周期信号展开成富立哀级数：
其中：
对于中的基波分量（n=1）有:
对理想继电特性输入（方波信号）中，基波分量可以如下求出:
由理想继电特性的对称性，可以确定。
由的奇函数特性 可以确定
如果把各次谐波都加上有：
――方波信号是各次谐波分量的迭加
而在各次谐波分量中，基波分量最能表征的特征。
描述函数定义：
对一非线性特性，若输入时
其输出中的基波分量为则定义
非线性特性的描述函数：
描述函数――从线性系统频率特性的角度来描述非线性特性的一种函数。
描述函数是非线性环节的“频率特性”，是非线性特性的谐波线性化，线性系统频率特性是非线性系统描述函数的特例。
描述函数与频率特性概念上不同，但有类似的地方是其谐波线性化，是“频率特性”概念的推广。
理想继电特性：
2.常见非线性特性的描述函数
描述函数的确定（以一般继电特性为例）
1）确定上的特征点由输入曲线可见：
对：
由：
2）求中基波分量的系数
特例：
：
理想继电特性
无滞环有死区
纯滞环
可见，描述函数一般是非线性特性前，输入正弦信号幅值的函数，并且在一般情况下，是一个复数。
3.用描述函数分析非线性系统
为何引出的概念：
实际物理系统，严格地讲，都是程度不同地带有非线性因素，非线性系统的许多运动规律是线性系统领域看不到的，如非线性自振。
若一个实际系统（如火炮系统）发生自振，当瞄准具对准一个目标，炮口由于自振而不停摆动，是打不中目标的，另外对系统本身磨损也很厉害，所以有必要把非线性系统的稳定性及自振问题专门拿出来研究。
描述函数法是专门研究一类非线性系统稳定性及其自振问题的方法。
1）描述函数分析法的基本思想
假设一个非线性系统满足以下三个条件：
注：
许多实际系统均可以满足此条件，所以此法具有较广的实用范围。
则：
的输出经的滤波处理信号近似为一正弦信号这样，可以近似把用其基波信号来代替，用线性系统频率分析法的思想来研究系统稳定性问题。
（2）系统稳定性分析：
由右图可见：
系统自振的条件为（必要条件）：
――自身输出反号后满足自身输入的需要
即：
借用奈奎斯特稳定判据，视负倒描述函数为广义的点，则有：
判定非线性系统稳定性的方法：
对理想的继电系统：
负倒描述函数
当变化时，描绘出一条曲线（不是定点）
当线性部分传递函数为：
（3）负倒描述函数曲线的绘制及广义点的变化规律：
以纯滞环继电系统为例：
把――等效非线性部分的增益折算到线性部分增益之中。
则标称化的负倒描述函数：
可见，的虚部是一个常数，以为自变量计算画图：
2.3
2.5
3
4
5
6
-0.785
-1.36
-1.63
-1.78
-2.22
-3.04
-3.85
-4.65
可见，广义的点是随X（当h确定时）的变化而变化的，不是像线性系统时的固定点。
当非线性系统工作状态（对应一个确定X值）不同时，该广义点在曲线上移动。
见挂图――常见非线性特性的曲线。
（4）自振分析：
<
1>
必要条件:
――曲线与曲线有交点。
如右系统：
1）、对于A――穿进曲线的点
2）、对于B――穿出曲线的点
可见，当初始扰动使不同时，系统运动规律不同：
2>
自振的判定方法：
（总结出来的结论）
例：
P32-5中交点A是一个稳定的自振点，该系统不论初始扰动大小，最后总要自振（不会发散，也不会收敛到零）
3>
自振参数的确定及参数变化时系统运动的规律
自振幅值――由交点B上的X值确定（系统各点的幅值可以折算过去）
自振频率――由交点B上的值定，参数变化时，系统运动规律分析：
参数变体时，系统运动的规律分析：
①变化时，（不变，变化时）
②变化时（变化，但保持不变）
：
对应B点：
常值
③
4>
定量计算
90年西工大研究题（10分）
已知系统结构图如右，试求系统产生自振时的振幅和频率（）理想继电特性描述函数
解：
依题大致作出和图形：
明显，A点为稳定的自振点（虚部为0的点）
令其虚部为0：
求实部值：
由自振的必要条件：
有:
非线性系统如右图所示：
，要求要产生一个的周期信号，求系统参数
分析：
画出与曲线可见：
当K改变时，只影响自振幅值，不改变自振频率，而当时，会使自振频率降低，幅值增加。
所以调节参数实现所需的自振参数。
由自振条件：
代入：
∴
将右图非线性系统化为串联形式，求出等效的开环传递函数
解法一：
将非线性特性视为线性环节来对待，则由梅逊公式：
解法二：
用结构图等效化简法：
如右图化简∴
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