考点15 圆中考数学考点归纳总结Word下载.docx
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2.推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
三、圆心角、弧、弦的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
四、圆周角定理及其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
(2)直径所对的圆周角是直角.
圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时,通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化;
同弧或等弧的圆周角间的转化;
连直径,得到直角三角形,通过两锐角互余进行转化等.
五、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<
r⇔点在⊙O内;
(2)d=r⇔点在⊙O上;
(3)d>
r⇔点在⊙O外.
判断点与圆之间的位置关系,将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>
r
d=r
d<
由于圆是轴对称和中心对称图形,所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
六、切线的性质与判定
1.切线的性质
(1)切线与圆只有一个公共点.
(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.
(3)切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时,通常连过切点的半径,利用直角三角形的性质来解决问题.
2.切线的判定
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法:
①知道直线和圆有公共点时,连半径,证垂直;
②不知道直线与圆有没有公共点时,作垂直,证垂线段等于半径.
七、三角形与圆
1.三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等.
2.三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.
内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形的三条边的距离相等.
八、正多边形的有关概念
正多边形中心:
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形半径:
正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径.
正多边形中心角:
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角.
正多边形边心距:
正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
九、与圆有关的计算公式
1.弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l=;
扇形的面积S==.
2.圆锥与侧面展开图
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,
圆锥的侧面积为S圆锥侧=.
圆锥的表面积:
S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·
(l+r).
在求不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
考向一圆的基本认识
1.在一个圆中可以画出无数条弦和直径.
2.直径是弦,但弦不一定是直径.
3.在同一个圆中,直径是最长的弦.
4.半圆是弧,但弧不一定是半圆.弧有长度和度数,规定半圆的度数为180°
,劣弧的度数小于180°
,优弧的度数大于180°
.
5.在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧.
典例1下列命题中正确的有
①弦是圆上任意两点之间的部分;
②半径是弦;
③直径是最长的弦;
④弧是半圆,半圆是弧.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【答案】A
1.把圆的半径缩小到原来的,那么圆的面积缩小到原来的
A.B.
C.D.
2.半径为5的圆的一条弦长不可能是
A.3B.5C.10D.12
考向二垂径定理
1.垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍然成立.
2.垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据.
典例2把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16cm,则球的半径为
A.10cmB.10cm
C.10cmD.8cm
【答案】B
【解析】根据垂径定理及推论,作弦心距,构造直角三角形,根据勾股定理求解.
如图,过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm,由题意知,⊙O和BC相切,则M,O,N三点在一条直线上.
∵EF=CD=16cm,根据垂径定理得MF=8cm,
在Rt△OMF中,OF2=OM2+MF2,
x2=82+(16–x)2,解得x=10.故选B.学——科网
【点睛】解本题的关键是作辅助线弦心距,构造直角三角形,这个直角三角形的斜边是半径,另两条边分别为弦心距和弦的一半,再根据解直角三角形解题.
典例3如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为
A.2cmB.cm
C.D.
【答案】C
3.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为4,则弦AB的长是
A.3B.6
C.4D.8
4.如图,某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚,大棚的跨度弦AB的长为米,大棚顶点C离地面的高度为2.3米.
(1)求该圆弧形所在圆的半径;
(2)若该菜农的身高为1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动的范围有几米?
考向三弧、弦、圆心角、圆周角
1.圆心角的度数等于它所对弧的度数,把顶点在圆心的周角等分成360份,每一份的圆心角是1°
的角,1°
的圆心角对着1°
的弧.
2.圆周角要具备两个特征:
①顶点在圆上;
②角的两边都和圆相交,二者缺一不可.
典例4如图,AB和CD是⊙O的两条直径,弦DE∥AB,若弧DE为40°
的弧,则∠BOC=
A.110°
B.80°
C.40°
D.70°
【解析】连接OE,如图所示:
∵弧DE为40°
的弧,∴∠DOE=40°
.∵OD=OE,∴∠ODE==70°
∵弦DE∥AB,∴∠AOC=∠ODE=70°
,∴∠BOC=180°
–∠AOC=180°
–70°
=110°
.故选A.
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系,根据题意作出辅助线,构造出等腰三角形是解答此题的关键.
典例5 如图,在⊙O中,圆心角∠AOB=120°
,P为弧AB上一点,则∠APB度数是
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
【解析】如图,在优弧AB上取点C,连接AC、BC,
由圆周角定理得,
由圆内接四边形的性质得到,故选C.
【点睛】在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
5.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠OCA=50°
,AB=4,则的长为
A.πB.πC.πD.π
6.如图,AB是⊙O的直径,,∠COD=38°
,则∠AEO的度数是
A.52°
B.57°
C.66°
D.78°
考向四点、直线与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系:
①在圆上;
②在圆内;
③在圆外.
2.直线和圆的位置关系:
相交、相切、相离.
典例6 已知⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与⊙O的位置关系是
A.点A在⊙O上B.点A在⊙O内
C.点A在⊙O外D.点A与圆心O重合
【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
典例7 在△ABC中,AB=AC=2,∠A=150°
,那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是
A.相离B.相切
C.相交D.无法确定
【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,∵∠BAC=150,∴∠DAB=30°
,∴BD==1,即B到直线AC的距离等于⊙B的半径,∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切,故选B.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,求出BD和⊙B的半径比较即可,主要考查学生的推理能力.
7.如图,⊙O的半径为5cm,直线l到点O的距离OM=3cm,点A在l上,AM=3.8cm,则点A与⊙O的位置关系是
A.在⊙O内B.在⊙O上
C.在⊙O外D.以上都有可能
8.如图,⊙O的半径OC=5cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交⊙O于A、B两点,AB=8cm,则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切.
考向五切线的性质与判定
有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直半径,这是圆中作辅助线的一种方法.
典例8 如图,已知BC是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,切线AD交BC的延长线于D,若∠D=40°
,则∠B的度数是
A.40°
B.50°
C.25°
D.115°
【解析】连接OA,根据切线的性质得到OA⊥AD,由三角形的内角和得到∠AOC=50°
,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB,根据圆周角定理可得到结论.
连接OA,
∵AD是⊙O的切线,∴OA⊥AD,
∴∠D=40°
,∴∠AOC=50°
,
∵BO=OA,∴∠B=∠BAO,
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°
故选C.
【点睛】本题考查了切线的性质,三角形内角和,圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
典例9 如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=5,AC=3,点E在中线AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径为
C.D.1
【答案