考点15 圆中考数学考点归纳总结Word下载.docx

考点15 圆中考数学考点归纳总结Word下载.docx

《考点15 圆中考数学考点归纳总结Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点15 圆中考数学考点归纳总结Word下载.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；

同弧或等弧的圆周角间的转化；

连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．

五、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d．

（1）d<

r⇔点在⊙O内；

（2）d=r⇔点在⊙O上；

（3）d>

r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

位置关系

相离

相切

相交

图形

公共点个数

0个

1个

2个

数量关系

d>

r

d=r

d<

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．

六、切线的性质与判定

1．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点．

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．

（3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

七、三角形与圆

1．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

八、正多边形的有关概念

正多边形中心：

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

正多边形半径：

正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．

正多边形中心角：

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．

正多边形边心距：

正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

九、与圆有关的计算公式

1．弧长和扇形面积的计算

扇形的弧长l=；

扇形的面积S==．

2．圆锥与侧面展开图

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．

（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，

圆锥的侧面积为S圆锥侧=．

圆锥的表面积：

S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·

（l+r）．

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．

考向一圆的基本认识

1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

3．在同一个圆中，直径是最长的弦．

4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°

，劣弧的度数小于180°

，优弧的度数大于180°

．

5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例1下列命题中正确的有

①弦是圆上任意两点之间的部分；

②半径是弦；

③直径是最长的弦；

④弧是半圆，半圆是弧．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【答案】A

1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的

A．B．

C．D．

2．半径为5的圆的一条弦长不可能是

A．3B．5C．10D．12

考向二垂径定理

1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．

2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．

典例2把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为

A．10cmB．10cm

C．10cmD．8cm

【答案】B

【解析】根据垂径定理及推论，作弦心距，构造直角三角形，根据勾股定理求解.

如图，过点O作OM⊥EF交EF于M．

设OF=xcm，由题意知，⊙O和BC相切，则M，O，N三点在一条直线上．

∵EF=CD=16cm，根据垂径定理得MF=8cm，

在Rt△OMF中，OF2=OM2+MF2，

x2=82+（16–x）2，解得x=10．故选B．学——科网

【点睛】解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题．

典例3如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

A．2cmB．cm

C．D．

【答案】C

3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是

A．3B．6

C．4D．8

4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2．3米．

（1）求该圆弧形所在圆的半径；

（2）若该菜农的身高为1．70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？

考向三弧、弦、圆心角、圆周角

1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°

的角，1°

的圆心角对着1°

的弧．

2．圆周角要具备两个特征：

①顶点在圆上；

②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．

典例4如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若弧DE为40°

的弧，则∠BOC=

A．110°

B．80°

C．40°

D．70°

【解析】连接OE，如图所示：

∵弧DE为40°

的弧，∴∠DOE=40°

．∵OD=OE，∴∠ODE==70°

∵弦DE∥AB，∴∠AOC=∠ODE=70°

，∴∠BOC=180°

–∠AOC=180°

–70°

=110°

．故选A．

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．

典例5　如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°

，P为弧AB上一点，则∠APB度数是

A．100°

B．110°

C．120°

D．130°

【解析】如图，在优弧AB上取点C，连接AC、BC，

由圆周角定理得，

由圆内接四边形的性质得到，故选C．

【点睛】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°

，AB=4，则的长为

A．πB．πC．πD．π

6．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=38°

，则∠AEO的度数是

A．52°

B．57°

C．66°

D．78°

考向四点、直线与圆的位置关系

1．点和圆的位置关系：

①在圆上；

②在圆内；

③在圆外．

2．直线和圆的位置关系：

相交、相切、相离．

典例6　已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是

A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内

C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合

【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

典例7　在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°

，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是

A．相离B．相切

C．相交D．无法确定

【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°

，∴BD==1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．

7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是

A．在⊙O内B．在⊙O上

C．在⊙O外D．以上都有可能

8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．

考向五切线的性质与判定

有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例8　如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°

，则∠B的度数是

A．40°

B．50°

C．25°

D．115°

【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°

，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．

连接OA，

∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，

∴∠D=40°

，∴∠AOC=50°

，

∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，

∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°

∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°

故选C．

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

典例9　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为

C．D．1

【答案