高考数学理二轮专题练习专题52空间中的平行与垂直含答案Word文档下载推荐.docx

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3．平行关系及垂直关系的转化

热点一　空间线面位置关系的判定

例1　

（1）设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α

B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β

C．若a∥α且a∥β，则α∥β

D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β

（2）平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

思维启迪　判断空间线面关系的基本思路：

利用定理或结论；

借助实物模型作出肯定或否定．

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）A：

应该是b∥α或b⊂α；

B：

如果是墙角出发的三个面就不符合题意；

C：

α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D.

（2）若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.

思维升华　解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

　设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：

①若α⊥β，m∥α，则m⊥β

②若m⊥α，n⊥α，则m∥n

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α

④若n⊥α，n⊥β，则β∥α

其中真命题的序号为（　　）

A．①③B．②③

C．①④D．②④

答案　D

解析　①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误；

②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确；

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以③错误；

④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确．

故选D.

热点二　平行、垂直关系的证明

例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

思维启迪　

（1）利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；

（2）BE∥AD易证；

（3）EF是△CPD的中位线．

证明　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，

且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．

所以BE⊥CD，AD⊥CD，

由

（1）知PA⊥底面ABCD.

所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

所以CD⊥平面BEF.

又CD⊂平面PCD，

所以平面BEF⊥平面PCD.

思维升华　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．

　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

证明　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

热点三　图形的折叠问题

例3　如图

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°

，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）．

（1）求证：

DE∥平面A1CB；

（2）求证：

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

请说明理由．

思维启迪　折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第

（1）问证明线面平行，可以证明DE∥BC；

第

（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；

第（3）问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.

（1）证明　因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC.

又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB.

（2）证明　由图

（1）得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.

所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，

所以A1F⊥BE.

（3）解　线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，

所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP.

由

（2）知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.

从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

思维升华　

（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．

（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

　如图

（1），已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图

（2）所示），G是BC的中点．

（1）当x＝2时，求证：

BD⊥EG；

（2）当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f（x）的函数式．

（1）证明　作DH⊥EF，垂足为H，连接BH，GH，

因为平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，DH⊂平面AEFD，

所以DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH.

因为EH＝AD＝BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°

，

所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH.

又BH，DH⊂平面DBH，且BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH.

又BD⊂平面DBH，故EG⊥BD.

（2）解　因为AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，AE⊂平面AEFD，

所以AE⊥平面EBCF.

由

（1）知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，

所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE，故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高DH＝AE＝x.

又S△BCF＝BC·

BE＝×

4×

（4－x）＝8－2x，

所以三棱锥D－BCF的体积f（x）＝S△BFC·

DH

＝S△BFC·

AE＝（8－2x）x

＝－x2＋x（0<

x<

4）．

1．证明线线平行的常用方法

（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；

（2）利用平行四边形进行转换；

（3）利用三角形中位线定理证明；

（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明．

2．证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；

（2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行．

3．证明面面平行的方法

证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．

4．证明线线垂直的常用方法

（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；

（2）利用勾股定理逆定理；

（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．

5．证明线面垂直的常用方法

（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；

（2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；

（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

6．证明面面垂直的方法

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.

真题感悟

1．（2014·

辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

答案　B

解析　方法一　若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；

若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；

若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．

方法二　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.

A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，

但m与n是相交直线，故A错．

B项中，m⊥α，n⊂α，

∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．

C项中，若m为AA′，n为AB，

满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．

D项中，若m为A′B′，n为B′C′，

满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．

2．（2014·

辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝