高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21文档格式.docx
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若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}.
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：
a＋b＝0，q：
a2＋b2＝0；
（2）p：
四边形的对角线相等，q：
四边形是矩形；
（3）p：
x＝1或x＝2，q：
x－1＝
；
（4）p：
m<
－1，q：
x2－x－m＝0无实根；
（5）p：
ab≠0，q：
直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.
解
（1）∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.
（2）∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形；
四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，
（3）∵x＝1或x＝2⇒x－1＝
⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件.
（4）若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<
0，
即m<
－
.∵m<
－1⇒m<
⇏m<
－1，
∴p是q的充分不必要条件.
（5）由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；
又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件.
反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法：
一、定义法；
二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；
三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；
四、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
ax2＋ax＋1>
0的解集是R，q：
0<
a<
4；
|x－2|<
3，q：
<
－1；
A∪B＝A，q：
A∩B＝B；
q：
解
（1）当a＝0时，1>
0满足题意；
当a≠0时，由
可得0<
4.
故p是q的必要不充分条件.
（2）易知p：
－1<
x<
5，q：
5，
所以p是q的充要条件.
（3）因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件.
（4）由
根据同向不等式相加、相乘的性质，
有
即p⇒q.但
⇏
比如，当α＝1，β＝5时，
而α<
2，
所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件.
命题角度2 在实际问题中的判断
例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
解 如题图
（1），闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如题图
（2），闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如题图（3），闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如题图（4），闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的（ ）
A.充分条件B.必要条件
C.既不充分也不必要条件D.无法判断
答案 A
解析 结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际.
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
解
（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－
，符合要求.
（2）当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是
即
∴a<
0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是
∴0<
a≤1.
综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝（n＋1）2＋t（t为常数），试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？
请说明理由.
解 是充要条件.
（充分性）当t＝－1时，Sn＝（n＋1）2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1（n∈N*），
又∵an＋1－an＝2（常数），
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件.
（必要性）∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件.
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件.
命题角度2 充要条件的证明
例4 已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：
点P在直线l上的充要条件是
＝x
＋y
，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
证明 ①充分性：
若点P满足
，其中x，y∈R，且x＋y＝1，消去y，得
＋（1－x）
＝x（
）＋
，
∴
），即
.
∴点P在直线AB上，即点P在直线l上.
②必要性：
设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，
存在实数t，使得
＝t
＝t（
），
＝
＋
＋t
－t
＝（1－t）
令1－t＝x，t＝y，则
反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.
跟踪训练4 已知ab≠0，求证：
a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋（1－a）3＋a（1－a）－a2－（1－a）2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2－ab＋b2）＝0，
∴（a2－ab＋b2）（a＋b－1）＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值（或范围）
例5 已知函数f（x）＝
的定义域为A，g（x）＝lg[（x－a－1）（2a－x）]（a<
1）的定义域为B.
（1）求A；
（2）记p：
x∈A，q：
x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
解
（1）要使f（x）有意义，则3－（x＋2）（2－x）≥0，
化简整理得（x＋1）（x－1）≥0，
解得x≤－1或x≥1，
∴A＝{x|x≤－1或x≥1}.
（2）要使g（x）有意义，则（x－a－1）（2a－x）>
即（x－a－1）（x－2a）<
又∵a<
1，∴a＋1>
2a，
∴B＝{x|2a<
a＋1}.
∵p是q的必要不充分条件，
∴BA，
∴2a≥1或a＋1≤－1，
解得
≤a<
1或a≤－2.
∴a的取值范围为（－∞，－2]∪[
，1）.
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式（或方程），从而求得参数的取值范围.
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
（1）记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}；
（2）若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；
（3）根据集合的关系列不等式（组）；
（4）求出参数的范围.
跟踪训练5 设A＝{y|y＝
，x∈R}，B＝{y|y＝
x＋m，x∈[－1，1]}，记命题p：
“y∈A”，命题q：
“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_____________.
答案 （
）
解析 由题意知A＝（0，1），B＝[m－
，m＋
]，依题意，得BA，
故
<
1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的（ ）
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 无功不受禄可写为命题：
若无功，则不受禄.逆否命题为：
若受禄，则有功.显然“受禄”是“有功”的充分不必要条件，因为有功不一定受禄.
2.设命题p：
x2－3x＋2<
0，q：
≤0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
解析 命题p：
1<
2；
命题q：
1≤x<
2，故p是q的充分不必要条件.
3.“x2－4x－
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