空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案Word格式.docx
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A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
7.在三棱锥中,,,点分别是的中点,⊥底面,则直线与平面所成角的正弦值是()
A.B.C.D.
二、填空题
8.若平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,则与所成角的余弦值为_.
9.正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小是______.
10.已知三棱锥中,底面为边长等于2的等边三角形,垂直于底面,=3,那么直线与平面所成角的正弦值为.
11.如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,,则平面和平面的夹角余弦值是_______.
三、解答题
12.如图,点在正方体的对角线上,∠.
(Ⅰ)求与所成角的大小;
(Ⅱ)求与平面所成角的大小.
13.如图,四棱锥的底面是菱形,其对角线,,,都与平面垂直,,,求平面与平面的夹角大小.
14.如图
(1),在Rt△中,∠=90°
,=3,=6,分别是,上的点,且∥,,将△沿折起到△的位置,使,如图
(2).
(1)求证:
⊥平面;
(2)若是的中点,求与平面所成角的大小;
(3)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?
说明理由.
15.(2016理)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°
,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(Ⅰ)求证:
EF⊥平面ACFD;
(Ⅱ)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】排除法.
平面的法向量与平面任意直线的方向向量垂直,即它们的数量积为零.
排除A,C,D,选项为B.
2.【答案】A
【解析】设正方体的棱长为1,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
.
所以,,
,
,,
所以,
因此,与所成的角的余弦值是.
3.【答案】A
【解析】如图所示,以为原点建立的空间直角坐标系,
则
由中点公式可知,,
,
.
4.【答案】C
【解析】由可得,,即,
即或.
5.【答案】D
【解析】
6.【答案】A
【解析】如图,以O为坐标原点,以OA为x轴,OB为y轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系O—xyz。
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),,
则,
设平面PAC的一个法向量为,
∴,可取,
∴,
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°
-60°
=30°
故选A。
7.【答案】D
【解析】
8.【答案】
【解析】由,知与所成角的余弦值为.
9.【答案】
【解析】以A为原点建立直角坐标系(如图所示),设B(2,0,0),
则E(1,0,0),F(2,2,1),C1(2,2,2),A1(0,0,2),
∴,,
∴.
10.【答案】
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.
过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴E为BC中点,∵BC⊥AE,SA⊥BC,∴BC⊥面SAE,
∴BC⊥AF,AF⊥SE,∴AF⊥面SBC,
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长3,
∴,AS=3,∴SE=,AF=,
∴.
11.【答案】
因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).
因为FA=FE,∠AEF=45°
,所以∠AFE=90°
.
从而,.
设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z).
,由得
取y=1,则x=1,z=3.从而.
由AE⊥平面ABCD可知,平面ABD的一个法向量为,
设平面和平面的夹角为,则
12.【解析】如图,以点为原点建立空间直角坐标系,设为单位长,则
=,=.
连结,,在平面BB1D1D,延长DP,交于点H,
设=(m>
0),
由条件知<
,>
=60°
由·
=||||cos<
可得2m=.
解得m=.所以=.
(Ⅰ)因为cos<
,>
=,
所以<
=,即与所成的角的大小是45°
(Ⅱ)因为平面的一个法向量是,
又cos<
=.即与平面所成角的大小为60°
注意:
由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且∠PDA=60°
,直接设点P的坐标则会出现多个变量,因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题,因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可,因此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向量的坐标方法,但空间想象与思辨论证的要求并没有降低,体现了对学生全面的几何方法的考查.
13.【解析】如图,以为坐标原点,建立如图的空间直角坐标系.
设平面的法向量为,
则由得
令,得.
同理,可求得平面的法向量.
因为,所以平面与平面垂直.
所以平面与平面的夹角.
14.【解析】
15.【解析】
(Ⅰ)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(Ⅱ)方法一:
过点F作FQ⊥AK,连结BQ.
因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.
所以,∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得.
在Rt△BQF中,,得.
所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.
方法二:
如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.
取BC的中点O,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以,KO⊥平面ABC.
以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得
因此,.
设平面ACK的法向量为,平面ABK的法向量为,
由,得,取;
由,得,取.
于是,.