空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案Word格式.docx

1、A30 B45 C60 D757. 在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A B C D二、填空题8若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为 _9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是_.10. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 . 11. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，则平面和平面的夹角余弦值是_.三、解答题12. 如图，点在正方体的对角线上，.（）求与所成角的大小；（）求与平面所成角的大小.13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其

2、对角线，都与平面垂直，求平面与平面的夹角大小.14. 如图（1），在Rt中，90，3，6，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由15（2016 理）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3（）求证：EF平面ACFD；（）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案与解析】1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量与平面任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. 排除A，C，D，选项为B.2.【答案】A 【解析

3、】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，所以，因此，与所成的角的余弦值是3.【答案】A 【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系， 则 由中点公式可知， ， .4.【答案】C 【解析】由可得，即， 即或.5.【答案】D【解析】6.【答案】A【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz。设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（a，0，0），则，设平面PAC的一个法向量为，可取，直线BC与平面PAC的夹角为9060=30故选A。7.【答案】D 【解析】8.【答案】【解析】 由

4、，知与所成角的余弦值为.9.【答案】 【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2）， .10.【答案】 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， .11.【答案】因为ABE为等腰直角三角形，AB=

5、AE，所以AEAB. 又因为平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB，所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1，则B（0，1，0），D （1， 0， 0 ） ， E （ 0， 0， 1 ）， C （ 1， 1， 0 ）.因为FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90.从而，.设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）.， 由 得 取y=1，则x=1，z=3.从而.由AE平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则12.【解析】如图，

6、以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则=，=.连结，在平面BB1D1D，延长DP，交于点H，设=（ m 0 ）， 由条件知 = 60由=|cos可得2m =.解得m =.所以=.（）因为cos=，所以=，即与所成的角的大小是45（）因为平面的一个法向量是，又cos=. 即与平面所成角的大小为60 注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且PDA=60，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没

7、有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.设平面的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面的法向量.因为，所以平面与平面垂直.所以平面与平面的夹角.14.【解析】15.【解析】（）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以BFAC又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK所以BF平面ACFD（）方法一：过点F作FQAK，连结BQ因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK所以，BQF是二面角B-AD-F的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得在RtBQF中，得所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以，KO平面ABC以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz由题意得因此，设平面ACK的法向量为，平面ABK的法向量为，由，得，取；由，得，取于是，