二次函数铅垂高演练答案解析总结.docx

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二次函数铅垂高演练答案解析总结

二次函数铅垂高

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；

（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

例1解：

（1）设抛物线的解析式为：

1分

把A（3,0）代入解析式求得

所以3分

设直线AB的解析式为：

由求得B点的坐标为4分

把，代入中

解得：

所以6分

（2）因为C点坐标为（１,4）

所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2

所以CD＝4-2＝28分

（平方单位）10分

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

则12分

由S△PAB=S△CAB

得：

化简得：

解得，

将代入中，

解得P点坐标为14分

总结：

求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。

铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？

求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

1）方法一：

由已知得：

C（0，－3），A（－1，0）

将A、B、C三点的坐标代入得

解得：

所以这个二次函数的表达式为：

方法二：

由已知得：

C（0，－3），A（－1，0）

设该表达式为：

将C点的坐标代入得：

所以这个二次函数的表达式为：

（注：

表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：

存在，F点的坐标为（2，－3）

理由：

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）

由A、C、E、F四点的坐标得：

AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）

方法二：

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得

∴圆的半径为或．

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．

设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．

随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；

（2）设

（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

【答案】解：

（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，

则，解得

∴所求抛物线的函数关系式为…………①

设直线AC的函数关系式为则，解得．

∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为

把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．

（2）

（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=

=

=

∴当x=5时，S△CMN有最大值

课下练习1．（本题满分12分）已知：

如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

3．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.

（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；

（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】解：

根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，

得

解这个方程，得

所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.

当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

所以在△AOC中，AC==.

在△BOC中，BC==.

AB=OA+OB=.

因为AC2+BC2=.

所以△ABC是直角三角形。

（2）点D的坐标是.

（3）存在。

由

（1）知，AC⊥BC,

若以BC为底边，则BC∥AP,如图

（1）所示，可求得直线BC的解析式为

.

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，

将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.

解得（不合题意，舍去）.

当x=时，y=.

所以点P的坐标为（，）.

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图

（2）所示，可求得直线AC的解析式为

.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4

解得（不合题意，舍去）.

当x=-时，y=-9.

所以点P的坐标为（-，-9）.

综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）

2（本题10分）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴

交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；

（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?

若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?

．解：

（1）A（0，4），C（8，0）．…………………………………………………………2分

（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为，

则解得∴．……………………………………3分

①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴（0，4）．………………………4分

②当ED=EC时，可得（，）．……………5分

③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，

则△CEG∽△CAO，∴．

即，，∴（，）．……………………………………6分

综上，符合条件的点E有三个：

（0，4），（，），（，）．

（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．

设P（m，），则Q（，）．

①当时，

PQ=（）（）=，

，…………………………7分

∴；……………………………………………………………………………8分

②当时，

PQ=（）（）=，

，

∴．………………………………………………………………………………9分

故时，相应的点P有且只有两个．…………………………