版高考数学一轮复习 第二章 函数导数及其应用 第17讲 定积分与微积分基本定理精选教案 理文档格式.docx

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xi<

xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi（i＝1,2，…，n），作和式（ξi）Δx＝f（ξi），当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作f（x）dx.

在f（x）dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间__[a，b]__叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做__积分变量__，__f（x）dx__叫做被积式．

2．定积分的几何意义

f（x）

f（x）dx的几何意义

f（x）≥0

表示由直线__x＝a__，__x＝b（a≠b）__，y＝0及曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积

f（x）<

表示由直线__x＝a__，__x＝b（a≠b）__，y＝0及曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积的相反数

f（x）在[a，b]上有正有负

表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

3．微积分的性质

（1）kf（x）dx＝__kf（x）dx__（k为常数）；

（2）[f1（x）±

f2（x）]dx＝__f1（x）dx±

f2（x）dx__；

（3）__f（x）dx__＝f（x）dx＋f（x）dx（其中a<

c<

b）．

4．微积分基本定理

一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝__F（b）－F（a）__，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．

5．定积分与曲边梯形面积的关系

设阴影部分的面积为S.

（1）S＝f（x）dx；

（2）S＝__－f（x）dx__；

（3）S＝__f（x）dx－f（x）dx__；

（4）S＝f（x）dx－g（x）dx＝[f（x）－g（x）]dx.

6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系

（1）s＝__v（t）dt__；

（2）W＝__F（s）ds__.

7．奇偶函数定积分的两个重要结论

设函数f（x）在闭区间[－a，a]上连续，则有

（1）若f（x）是偶函数，则f（x）dx＝20f（x）dx；

（2）若f（x）是奇函数，则f（x）dx＝0.

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×

”）．

（1）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）dx＝f（t）dt.（　√　）

（2）定积分一定是曲边梯形的面积．（　×

　）

（3）若f（x）dx<

0，那么由y＝f（x），x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（　×

解析　

（1）正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关．

（2）错误．不一定是，要结合具体图形来定．

（3）错误．也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积．

2．若s1＝x2dx，s2＝dx，s3＝exdx，则s1，s2，s3的大小关系为（　B　）

A．s1<

s2<

s3　　　B．s2<

s1<

s3　　　　

C．s2<

s3<

s1　　　D．s3<

s1

解析　因为s1＝x3|＝（23－13）＝<

3，s2＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2<

1，s3＝ex|＝e2－e>

3，

所以s2<

s3.

3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　D　）

A．2　　　B．4　　　

C．2　　　D．4

解析　由得交点为（0,0），（2,8），（－2，－8），

所以S＝（4x－x3）dx＝＝4，故选D．

4.已知t>

1，若（2x＋1）dx＝t2，则t＝__2__.,

解析　（2x＋1）dx＝（x2＋x）|＝t2＋t－2

从而得方程t2＋t－2＝t2，解得t＝2.

5．汽车以36km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a＝2m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m.,

解析　t＝0时，v0＝36km/h＝10m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v（t）＝v0－at＝10－2t，由v（t）＝0得t＝5s，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为v（t）dt＝（10－2t）dt＝（10t－t2）|＝25（m）．

,

一　定积分的计算,

计算定积分的步骤

（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差．

（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分．

（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数．

（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值．

（5）计算原始定积分的值．

【例1】计算下列定积分．

（1）（－x2＋2x）dx；

（2）（sinx－cosx）dx；

（3）dx；

（4）∫0dx.

解析　

（1）（－x2＋2x）dx＝（－x2）dx＋2xdx

＝|＋（x2）|＝－＋1＝.

（2）（sinx－cosx）dx＝sinxdx－cosxdx,＝（－cosx）|－sinx|＝2.

（3）dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx|,＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.

（4）dx＝|sinx－cosx|dx,＝（cosx－sinx）dx＋（sinx－cosx）dx,＝（sinx＋cosx）＋（－cosx－sinx）,＝－1＋（－1＋）＝2－2.

二　定积分几何意义的应用,

（1）利用定积分求平面图形面积的步骤：

①根据题意画出图形；

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限；

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

④计算定积分，写出答案．

（2）根据平面图形的面积求参数的方法：

先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程（不等式）求解．

【例2】

（1）由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（　C　）

A．　　　B．4　　　

C．　　　D．6

（2）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__1．2__.

解析　

（1）作出曲线y＝和直线y＝x－2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积．,由得交点A（4,2）．

因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

[－（x－2）]dx＝（－x＋2）dx＝＝×

8－×

16＋2×

4＝.,

（2）建立如图所示的平面直角坐标系

由抛物线过点（0，－2），（－5,0），（5,0），得抛物线的函数表达式为y＝x2－2，抛物线与x轴围成的面积S1＝dx＝，梯形面积S2＝＝16，最大流量比为S2∶S1＝6∶5.

三　定积分在物理中的应用

定积分在物理中的两个应用

（1）求变速直线运动的路程：

如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v（t）dt.

（2）变力做功：

一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝F（x）dx.

【例3】

（1）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：

s，v的单位：

m/s）行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离（单位：

m）是（　C　）

A．1＋25ln5　　　B．8＋25ln

C．4＋25ln5　　　D．4＋50ln2

（2）一物体在力F（x）＝（单位：

N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：

m）处，则力F（x）做的功为__36__J.

解析　

（1）由v（t）＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为

v（t）dt＝dt＝|,＝4＋25ln5（m）．,

（2）由题意知，力F（x）所做的功为,W＝F（x）dx＝5dx＋（3x＋4）dx＝5×

2＋,＝10＋＝36J.

1．定积分dx的值为（　A　）

A．　　　B．　　　

C．π　　　D．2π

解析　令y＝，则（x－1）2＋y2＝1（y≥0），由定积分的几何意义知，dx的值为区域的面积，即为.

2．计算：

（x3cosx）dx＝__0__.

解析　∵y＝x3cosx为奇函数，∴（x3cosx）dx＝0.

3．如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为！

！

　　###.

解析　由得交点A（－1，－1），B（1，－1）．

由得交点C（－2，－1），D（2，－1）．

所以所求面积

S＝2＝.

4．如图，圆O：

x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为！

解析　阴影部分的面积为2sinxdx＝2（－cosx）|＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M内的概率是.

易错点　定积分的几何意义不明确

错因分析：

f（x）dx不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为零．

【例1】求曲线f（x）＝sinx，x∈与x轴围成的图形的面积．

解析　当x∈[0，π]时，f（x）≥0，当x∈时，f（x）<

0.

则所求面积S＝sinxdx＋＝－cosxππ＝2＋＝3－.

【跟踪训练1】（2018·

山东淄博一模）如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（　A　）

A．|x2－1|dx　　　B．

C．（x2－1）dx　　　D．（x2－1）dx＋（1－x2）dx

解析　由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx.

课时达标　第17讲

[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．

一、选择题

1．exdx的值等于（　C　）

A．e　　　B．1－e

C．e－1　　　D．（e－1）

解析　exdx＝ex|＝e1－e0＝e－1，故选C．

2．dx＝（　C　）

A．e2－2　　　B．e－1　　　

C．e2　　　D．e＋1

解析　dx＝（x2＋lnx）|＝e2.故选C．

3．求曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积，其中正确的是（　A　）

A．S＝（x－x2）dx　　　B．S＝（x2－x）dx

C．S＝（y2－y）dy　　　D．S＝（y－）dy

解析　由图象可得S＝（x－x2）dx.

第3题图　　　　　　　第4题图

4．曲线y＝与直线y＝x－1及直线x＝4所围成的封闭图形的面积为（　D　）

A．2ln2　　　B．2－ln2　　　

C．4－ln2　　　D．4－2ln2

解析　由曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为

S＝dx＝（x2－x－2lnx）|＝4－2ln2.

5．设f（x）＝（其中e为自然对数的底数），则f（x）dx的值为（　A　）

C