全国卷Ⅲ高考理科数学试题与答案Word格式.docx
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）5的展开式中
3
3的系数为
A．-80B．-40C．40D．80
5．已知双曲线C：
（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为
且与椭圆
有公共焦点，则C的方程为
C．
D．
6．设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是
A．f（x）的一个周期为−2π
B．y=f（x）的图像关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
π）单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，
则输入的正整数N的最小值为
A．5B．4
C．3D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
B．
C．
D．
9．等差数列
的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则
前6项的和为
A．-24B．-3C．3D．8
10．已知椭圆C：
，（a>
b>
0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线
相切，则C的离心率为
11．已知函数
有唯一零点，则a=
D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
=
，则
的最大值为
A．3B．2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若
，
满足约束条件
的最小值为__________．
14．设等比数列
满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．
15．设函数
则满足
的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°
角时，AB与b成30°
角；
②当直线AB与a成60°
角时，AB与b成60°
③直线AB与a所称角的最小值为45°
；
④直线AB与a所称角的最小值为60°
其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+
cosA=0，a=2
b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD
AC,求△ABD的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
20．（12分）
已知抛物线C：
y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数
=x﹣1﹣alnx．
（1）若
，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，
﹤m，求m的最小值．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4
4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
（t为参数），直线l2的参数方程为
．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ+sinθ）-
=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修4
5：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．
参考答案：
1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．D8．B9．A10．A
11．C12．A
11、【解析】由条件，
，得：
∴
，即
为
的对称轴，
由题意，
有唯一零点，
的零点只能为
即
解得
．
12、【解析】由题意，画出右图．
设
与
切于点
，连接
以
为原点，
轴正半轴，
轴正半轴建立直角坐标系，
则
点坐标为
∵
切
于点
⊥
是
中斜边
上的高．
的半径为
在
上．
点的轨迹方程为
点坐标
，可以设出
点坐标满足的参数方程如下：
而
两式相加得：
（其中
）
当且仅当
时，
取得最大值3．
13．
14．
15．
16．②③
16、【解析】由题意知，
三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，
故
斜边
以直线
为旋转轴旋转，则
点保持
不变，
点的运动轨迹是以
为圆心，1为半径的圆．
为坐标原点，以
轴正方向，
轴正方向建立空间直角坐标系．
直线
的方向单位向量
点起始坐标为
点在运动过程中的坐标
其中
的夹角，
那么
在运动过程中的向量
所成夹角为
，所以③正确，④错误．
.
当
夹角为
时，即
，此时
∴②正确，①错误．
17．
（1）由
得
，又
，得
由余弦定理
又∵
代入并整理得
，故
（2）∵
为直角三角形，
由勾股定理
又
18．⑴易知需求量
可取
则分布列为：
⑵①当
时：
，当
时取到.
②当
此时
③当
④当
时，易知
一定小于③的情况.
综上所述：
取到最大值为
.
19．
⑴取
中点为
为等边三角形
即
为等腰直角三角形，
为直角又
为底边
中点
令
易得：
由勾股定理的逆定理可得
由面面垂直的判定定理
可得
⑵由题意可知
到平面
的距离相等
轴正方向，设
建立空间直角坐标系，
设平面
的法向量为
，平面
，解得
若二面角
，易知
为锐角，
20．⑴显然，当直线斜率为
时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
联立：
恒大于
在圆
⑵若圆
过点
化简得
或
①当
圆心为
半径
则圆
②当
21．⑴
，且
上单调增，所以
，不满足题意；
上单调递减；
上单调递增．
①若
上单调递增∴当
时
矛盾
②若
上单调递减∴当
③若
上单调递减，在
上单调递增∴
满足题意
综上所述
⑵当
则有
时等号成立
一方面：
另一方面：
的最小值为
22．⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
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