届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法Word文档下载推荐.docx
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例4已知点、,过、作两条互相垂直的直线和,求和的交点的轨迹方程.
由平面几何知识可知,当为直角三角形时,点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点,半径为,方程为.故的轨迹方程为.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得到间的直接关系式,即得到所求轨迹方程.
例5过抛物线()的顶点作两条互相垂直的弦、,求弦的中点的轨迹方程.
设,直线的斜率为,则直线的斜率为.直线OA的方程为,由解得,即,同理可得.
由中点坐标公式,得,消去,得,此即点的轨迹方程.
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.
例6如右图,垂直于轴的直线交双曲线于
、两点,为双曲线的左、右顶点,求直线与
的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.
设及,又,可得
直线的方程为①;
直线的方程为②.
①×
②得③.又,代入③得,化简得,此即点的轨迹方程.当时,点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆;
当时,点的轨迹是椭圆.
高考动点轨迹问题专题讲解
(一)选择、填空题
1.()已知、是定点,,动点满足,则动点的轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段
2.()设,,的周长为36,则的顶点的轨迹方程是
(A)()(B)()
(C)()(D)()
3.与圆外切,又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是;
4.P在以、为焦点的双曲线上运动,则的重心G的轨迹方程是;
5.已知圆C:
内一点,圆C上一动点Q,AQ的垂直平
分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为.
6.△ABC的顶点为、,△ABC的内切圆圆心在直线上,则顶
点C的轨迹方程是;
()
变式:
若点为双曲线的右支上一点,、分别是左、右焦点,则△的内切圆圆心的轨迹方程是;
推广:
若点为椭圆上任一点,、分别是左、右焦点,圆与线段的延长线、线段及轴分别相切,则圆心的轨迹是;
7.已知动点到定点的距离比到直线的距离少1,则点的轨迹方程是
.
8.抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是.
9.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点旋转时,
弦中点的轨迹方程为.
解法分析:
解法1当直线的斜率存在时,
设PQ所在直线方程为 与抛物线方程联立,
消去得 .
设,,中点为,则有
消得.
当直线的斜率不存在时,易得弦的中点为,也满足所求方程.
故所求轨迹方程为.
解法2 设,,
由 得,设中点为,
当时,有,又,
所以,,即.
当时,易得弦的中点为,也满足所求方程.
10.过定点作直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________.
(二)解答题
1.一动圆过点,且与圆相内切,求该动圆圆心的轨迹方程.
(定义法)
2.过椭圆的左顶点作任意弦并延长到,使,为椭圆另一顶点,连结交于点,
求动点的轨迹方程.
3.已知、是椭圆的长轴端点,、是椭圆上关于长轴对称的两点,求直线和的交点的轨迹.(交轨法)
4.已知点G是△ABC的重心,,在轴上有一点M,满足
,.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足,试求的取值范围.
(1)设,则由重心坐标公式可得.
∵,点在轴上,∴ .
∵,,∴ ,即.
故点的轨迹方程为().(直接法)
(2)设直线的方程为(),、,的中点为.
由消,得.
∴,即.①
又,∴,
∴.
∵,∴,∴,即,
∴,又由①式可得,∴且.
∴且,解得且.
故的取值范围是且.
5.已知平面上两定点、,为一动点,满足.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(直接法)
(Ⅱ)若A、B是轨迹上的两动点,且.过A、B两点分别作轨迹的切线,设其交点为,证明为定值.
(Ⅰ)设.由已知,,,
.
,……………………………………………3分
∵,∴整理,得.
即动点的轨迹为抛物线,其方程为.
6.已知O为坐标原点,点、,动点、、满足(),,,.求点M的轨迹W的方程.
解:
∵,,
∴MN垂直平分AF.
又,∴点M在AE上,
∴,,
∴,
∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距,
∴点M的轨迹W的方程为().
7.设,为直角坐标系内轴正方向上的单位向量,若向量,,且.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点作直线与曲线交于、两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?
若存在,求出直线的方程,若不存在,试说明理由.
(1);
(2)因为过轴上的点.若直线是轴,则两点是椭圆的顶点.
,所以与重合,与四边形是矩形矛盾.
故直线的斜率存在,设方程为,.
由消得此时>恒成立,且,,
,所以四边形是平行四边形.
若存在直线,使得四边形是矩形,则,即.
,
即.
.,得.
故存在直线:
,使得四边形是矩形.
8.如图,平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足:
=2,且于G,点Q是直线上一动点,点M满足:
,点P满足:
()建立适当的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;
()若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B,令,
当时,求直线的斜率的取值范围.
(1)以的中点为原点,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设点,
则,,.
∵,,∴,.
∵,∴,
即所求点的轨迹方程为.
(2)设点
设AF的斜率为,BF的斜率为,直线的方程为
由…………6分
…………7分
…………8分
…………10分
由于…………11分
解得…………13分
∴直线斜率k的取值范围是
9.如图所示,已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,并延长到点,且,.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)直线与动点的轨迹交于、两点,若,且,求直线的斜率的取值范围.
(1)设,由得,
,,,
又,∴,即动点的轨迹方程为.
10.已知点,点在轴上,点在轴上,为动点,满足,.
(1)求点轨迹的方程;
(2)将
(1)中轨迹按向量平移后得曲线,设是上任一点,过作圆的两条切线,分别交轴与、两点,求的取值范围.
(1)设、、,则、、
由题意得∴∴,
故动点的轨迹方程为.
11.如图和两点分别在射线、上移动,且,
为坐标原点,动点满足.
(1)求的值;
(2)求点的轨迹的方程,并说明它表示怎样的曲线?
(3)若直线l过点交
(2)中曲线于、两点,且,求的方程.
(1)由已知得,∴.
(2)设P点坐标为(),由得
,
∴消去,可得,
又因,∴P点的轨迹方程为.
它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.
(3)设直线l的方程为,将其代入C的方程得
即,
易知(否则,直线l的斜率为,它与渐近线平行,不符合题意)
又,
设,则
∵l与C的两个交点在轴的右侧
∴,即,又由同理可得,
由得,∴
由得,
消去得解之得:
,满足.
故所求直线l存在,其方程为:
或.
12.设A,B分别是直线和上的两个动点,并且,动点P满足.记动点P的轨迹为C.
()求轨迹C的方程;
()若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且,求实数的取值范围.
()设,因为A、B分别为直线和上的点,故可设
,.
∵, ∴∴
又, ∴.
∴. 即曲线C的方程为.
()设N(s,t),M(x,y),则由,可得(x,y-16)=(s,t-16).
故,.
∵M、N在曲线C上,∴
消去s得.
由题意知,且,解得.
又,∴.解得().
故实数的取值范围是().
13.设双曲线的两个焦点分别为、,离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线、的方程;
(2)若A、B分别为、上的动点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明是什么曲线.()
提示:
,又,,
则,.
又,代入距离公式即可.
(3)过点是否存在直线,使与双曲线交于、两点,且,若存在,求出直线的方程;
若不存在,说明理由.(不存在)
14.已知点,直线,设动点P到直线的距离为,已知,且.
(1)求动点P的轨迹方程;
15.如图,直线与椭圆()交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).
(1)若,且四边形OAPB为矩形,求的值;
(2)若,当变化时(),求点P的轨迹方程.(())
16.双曲线C:
(,)的离心率为2,其中,,且.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若双曲线C上存在关于直线:
对称的点,求实数的取值范围.
(I)依题意有:
解得:
所求双曲线的方程为………………………………………6分
(Ⅱ)当k=0时,显然不存在.………………………………………7分
当k≠0时,设双曲线上两点M、N关于直线l对称.由l⊥MN,直线MN的方程为.则M、N两点的坐标满足方程组
由消去y得.…………………9分
显然,∴.即.①
设线段MN中点D()
则∵D()在直线l上,∴.即②
把②带入①中得,解得或.
∴或.即或,且k≠0.
∴k的取值范围是.…………………14分
17.已知向量=(2,0),==(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足·
=K(·
-d2),其中O为坐标原点,K为参数.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(Ⅱ)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足≤e≤,求实数K的取值范围.
18.过抛物线的焦点作两条弦、,若,,.
(1)求证:
直线过定点;
(2)记
(1)中的定点为,求证为钝角;
(3)分别以、为直径作圆,两圆公共弦的中点为,求的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线.
19.(05年江西)如图,是抛物线上上的一点,动弦、分别交轴于、两点,且.
(1)若为定点,证明:
直线的斜率为定值;
(2)若为动点