1、例4 已知点、,过、作两条互相垂直的直线和,求和的交点的轨迹方程.由平面几何知识可知,当为直角三角形时,点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点,半径为,方程为. 故的轨迹方程为.五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得到间的直接关系式,即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线()的顶点作两条互相垂直的弦、,求弦的中点的轨迹方程.设,直线的斜率为,则直线的斜率为.直线OA的方程为,由解得,即,同理可得.由中点坐标公式,得,消去,得,此即点的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来
2、建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.例6 如右图,垂直于轴的直线交双曲线于、两点,为双曲线的左、右顶点,求直线与的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.设及,又,可得直线的方程为;直线的方程为.得. 又,代入得,化简得,此即点的轨迹方程. 当时,点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆;当时,点的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解(一)选择、填空题1( )已知、是定点,动点满足,则动点的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2( )设,的周长为36,则的顶点的轨迹方程是(A)() (B)()(C)() (D)()3与圆外切,又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;4P
3、在以、为焦点的双曲线上运动,则的重心G的轨迹方程是 ;5已知圆C:内一点,圆C上一动点Q, AQ的垂直平分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为 6ABC的顶点为、,ABC的内切圆圆心在直线上,则顶点C的轨迹方程是 ;()变式:若点为双曲线的右支上一点,、分别是左、右焦点,则的内切圆圆心的轨迹方程是 ;推广:若点为椭圆上任一点,、分别是左、右焦点,圆与线段的延长线、线段及轴分别相切,则圆心的轨迹是 ;7已知动点到定点的距离比到直线的距离少1,则点的轨迹方程是 8抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 9过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点旋转时,弦中点的轨迹方程为 解法
4、分析:解法1 当直线的斜率存在时,设PQ所在直线方程为与抛物线方程联立,消去得设,中点为,则有消得 当直线的斜率不存在时,易得弦的中点为,也满足所求方程故所求轨迹方程为解法2设,由得,设中点为,当时,有,又,所以,即当时,易得弦的中点为,也满足所求方程10过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_ (二)解答题1一动圆过点,且与圆相内切,求该动圆圆心的轨迹方程(定义法)2过椭圆的左顶点作任意弦并延长到,使,为椭圆另一顶点,连结交于点,求动点的轨迹方程3已知、是椭圆的长轴端点,、是椭圆上关于长轴对称的两点,求直线和的交点的轨迹(交轨法)4已知
5、点G是ABC的重心,在轴上有一点M,满足,(1)求点C的轨迹方程;(2)若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足,试求的取值范围(1)设,则由重心坐标公式可得,点在轴上,即故点的轨迹方程为()(直接法)(2)设直线的方程为(),、,的中点为由消,得,即 又,即,又由式可得,且且,解得且故的取值范围是且5已知平面上两定点、,为一动点,满足()求动点的轨迹的方程;(直接法)()若A、B是轨迹上的两动点,且过A、B两点分别作轨迹的切线,设其交点为,证明为定值()设由已知,,,3分, 整理,得即动点的轨迹为抛物线,其方程为6已知O为坐标原点,点、,动点、满足(),求点M的轨迹W的方程 解:
6、, MN垂直平分AF又, 点M在AE上, 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距, 点M的轨迹W的方程为()7设,为直角坐标系内轴正方向上的单位向量,若向量, 且(1)求点的轨迹的方程;(2)过点作直线与曲线交于、两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程,若不存在,试说明理由(1);(2)因为过轴上的点若直线是轴,则两点是椭圆的顶点 ,所以与重合,与四边形是矩形矛盾故直线的斜率存在,设方程为,由消得此时恒成立,且, ,所以四边形是平行四边形若存在直线,使得四边形是矩形,则,即,即,得故存在直线:,使得四边形是矩形8如图,平面内的定点F到定直线l的距离
7、为2,定点E满足: =2,且于G,点Q是直线上一动点,点M满足:,点P满足:()建立适当的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;()若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B,令,当时,求直线的斜率的取值范围(1)以的中点为原点,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设点,则,即所求点的轨迹方程为 (2)设点 设AF的斜率为,BF的斜率为,直线的方程为 由6分 7分 8分 10分 由于 11分 解得13分 直线斜率k的取值范围是9如图所示,已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,并延长到点,且,(1)求动点的轨迹方程;(2)直线与动点的轨迹交于、两点,若,且,求直线的斜率的取值范围(1)设,由得
8、,又,即动点的轨迹方程为10已知点,点在轴上,点在轴上,为动点,满足,(1)求点轨迹的方程;(2)将(1)中轨迹按向量平移后得曲线,设是上任一点,过作圆的两条切线,分别交轴与、两点,求的取值范围(1)设、,则、由题意得,故动点的轨迹方程为11如图和两点分别在射线、上移动,且,为坐标原点,动点满足(1)求的值; (2)求点的轨迹的方程,并说明它表示怎样的曲线?(3)若直线l过点交(2)中曲线于、两点,且,求的方程(1)由已知得, (2)设P点坐标为(),由得 ,消去,可得,又因, P点的轨迹方程为它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支(3)设直线l的方程为,将其
9、代入C的方程得 即 ,易知(否则,直线l的斜率为,它与渐近线平行,不符合题意) 又,设,则 l与C的两个交点在轴的右侧,即,又由同理可得 , 由得, 由得,消去得 解之得: ,满足故所求直线l存在,其方程为:或12设A,B分别是直线和上的两个动点,并且,动点P满足记动点P的轨迹为C() 求轨迹C的方程;()若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且,求实数的取值范围()设,因为A、B分别为直线和上的点,故可设, 又, 即曲线C的方程为 () 设N(s,t),M(x,y),则由,可得(x,y-16)= (s,t-16) 故, M、N在曲线C上, 消去s得 由题意知,且,解得 又
10、, 解得 () 故实数的取值范围是()13设双曲线的两个焦点分别为、,离心率为2(1)求此双曲线的渐近线、的方程;(2)若A、B分别为、上的动点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明是什么曲线()提示:,又,则,又,代入距离公式即可(3)过点是否存在直线,使与双曲线交于、两点,且,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由(不存在)14已知点,直线,设动点P到直线的距离为,已知,且 (1)求动点P的轨迹方程;15如图,直线与椭圆()交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)(1)若,且四边形OAPB为矩形,求的值;(2)若,当变化时(),求点P的轨迹方程()16
11、双曲线C:(,)的离心率为2,其中,且(1)求双曲线C的方程;(2)若双曲线C上存在关于直线:对称的点,求实数的取值范围(I)依题意有: 解得:所求双曲线的方程为6分()当k=0时,显然不存在7分当k0时,设双曲线上两点M、N关于直线l对称由lMN,直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组由 消去y得9分显然,即 设线段MN中点D()则D()在直线l上,即 把带入中得 ,解得或或即或,且k0k的取值范围是14分17已知向量=(2,0), =(0,1),动点M到定直线y =1的距离等于d,并且满足=K(-d2),其中O为坐标原点,K为参数.()求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;()如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足e,求实数K的取值范围.18过抛物线的焦点作两条弦、,若,(1)求证:直线过定点;(2)记(1)中的定点为,求证为钝角;(3)分别以、为直径作圆,两圆公共弦的中点为,求的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线19(05年江西)如图,是抛物线上上的一点,动弦、分别交轴于、两点,且(1)若为定点,证明:直线的斜率为定值;(2)若为动点
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