版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练44合情推理与演绎推理理Word格式.docx
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a＝1<
＝
＝1.5<
b＝2.
方法二（直接法）：
我们知道算术平均数
与几何平均数
的大小关系，其余各式作差（作商）比较即可，答案为B.
4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．[－2，0]
C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]
解析 ∵2x＋2y≥2
＝2
（当且仅当2x＝2y时等号成立），∴
≤
，∴2x＋y≤
，得x＋y≤－2，故选D.
5．若x，y是正数，则（x＋
）2＋（y＋
）2的最小值是（ ）
A．3B.
C．4D.
解析 原式＝x2＋
＋
＋y2＋
≥4.
当且仅当x＝y＝
时取“＝”号．
6．已知a>
0，且b>
0，若2a＋b＝4，则
的最小值为（ ）
A.
B．4
C.
D．2
解析 ∵4＝2a＋b≥2
，∴ab≤2，
≥
，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．
7．若x<
0，则函数y＝x2＋
－x－
的最小值是（ ）
A．－
B．0
C．2D．4
解析 y＝x2＋
≥2
＋2
＝4，当且仅当x＝－1时取等号．
8．（2015·
湖南，文）若实数a，b满足
，则ab的最小值为（ ）
B．2
C．2
D．4
解析 方法一：
由已知得
，且a>
0，b>
0，∴ab
＝b＋2a≥2
，∴ab≥2
.
方法二：
由题设易知a>
0，∴
，即ab≥2
，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选C.
9．（2017·
金山模拟）函数y＝
（x>
1）的最小值是（ ）
A．2
＋2B．2
－2
答案 A
解析 ∵x>
1，∴x－1>
0.
∴y＝
＝x－1＋
＋2≥2
＋2＝2
＋2.
当且仅当x－1＝
，即x＝1＋
时，取等号．
10．已知不等式（x＋y）（
）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析 （x＋y）（
）＝1＋a·
＋a≥1＋a＋2
＝（
＋1）2，
当且仅当a·
，即ax2＝y2时“＝”成立．
∴（x＋y）（
）的最小值为（
＋1）2≥9.
∴a≥4.
11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是（ ）
设x＝sinα，y＝cosα，m＝
sinβ，n＝
cosβ，其中α，β∈R.
∴mx＋ny＝
sinβsinα＋
cosβcosα＝
cos（α－β）．故选A.
由已知（x2＋y2）·
（m2＋n2）＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2（nx）·
（my）≤3，即（mx＋ny）2≤3，∴mx＋ny≤
12．已知x，y，z∈（0，＋∞），且满足x－2y＋3z＝0，则
A．3B．6
C．9D．12
13．（2017·
四川成都外国语学校）若正数a，b满足：
＝1，则
A．16B．9
C．6D．1
因为
＝1，所以a＋b＝ab，即（a－1）·
（b－1）＝1，所以
＝2×
3＝6.
＝1，所以a＋b＝ab，
＝b＋9a－10＝（b＋9a）（
）－10≥16－10＝6.
方法三：
＝1，所以a－1＝
，所以
＝（b－1）＋
14．
（1）当x>
1时，x＋
的最小值为________；
（2）当x≥4时，x＋
的最小值为________．
答案
（1）5
（2）
解析
（1）∵x>
∴x＋
＋1≥2
＋1＝5.
（当且仅当x－1＝
.即x＝3时“＝”号成立）
的最小值为5.
（2）∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函数y＝x＋
在[3，＋∞）上为增函数，
∴当x－1＝3时，y＝（x－1）＋
＋1有最小值
15．若a>
0，a＋b＝1，则ab＋
答案
解析 ab≤（
）2＝
，
当且仅当a＝b＝
时取等号．
y＝x＋
在x∈（0，
]上为减函数．
∴ab＋
的最小值为
＋4＝
16．已知a>
b>
0，求a2＋
的最小值．
答案 16
思路 由b（a－b）求出最大值，从而去掉b，再由a2＋
，求出最小值．
解析 ∵a>
0，∴a－b>
∴b（a－b）≤[
]2＝
∴a2＋
≥a2＋
＝16.
当a2＝
且b＝a－b，即a＝2
，b＝
时等号成立．
的最小值为16.
17．（2017·
江西重点中学盟校联考）设x，y均为正实数，且
，求xy的最小值．
解析 由
，化为3（2＋y）＋3（2＋x）＝（2＋y）·
（2＋x），整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2
＋8，∴（
）2－2
－8≥0，解得
≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.
18．（2018·
辽宁抚顺一中月考）某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：
在足浴盆右侧离中心x（0<
20）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为4；
对右脚的干扰度与400－x2成反比，比例系数为k，且当x＝10
时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.
（1）将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
答案
（1）y＝
20）
（2）
解析
（1）由题意得y＝
20），
当x＝10
时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.
所以y＝
20）．
（2）y＝
（
）[（400－x2）＋x2]
[4＋9＋
]
[13＋2
]＝
当且仅当
，即x＝4
时取“＝”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为
1．下列命题中正确的是（ ）
A．函数y＝x＋
的最小值为2
B．函数y＝
C．函数y＝2－3x－
0）的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－
0）的最大值为2－4
解析 y＝x＋
的定义域为{x|x≠0}，当x>
0时，有最小值2，当x<
0时，有最大值－2，故A项不正确；
y＝
≥2，
∵
，∴取不到“＝”，故B项不正确；
∵x>
0时，3x＋
≥2·
＝4
当且仅当3x＝
，即x＝
时取“＝”，
∴y＝2－（3x＋
）有最大值2－4
，故C项不正确，D项正确．
2．（2014·
重庆）若log4（3a＋4b）＝log2
，则a＋b的最小值是（ ）
A．6＋2
B．7＋2
C．6＋4
D．7＋4
解析 因为log4（3a＋4b）＝log2
，所以log4（3a＋4b）＝log4（ab），即3a＋4b＝ab，且
即a>
0，所以
＝1（a>
0），a＋b＝（a＋b）（
）＝7＋
≥7＋2
＝7＋4
，当且仅当
时取等号，选择D项．
3．（2016·
人大附中月考）设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“
≤a＋b＋c”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析
当abc＝1时，
[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]＝a＋b＋c.
故abc＝1⇒
≤a＋b＋c.
反过来，若a＝b＝1，c＝4，有
≤a＋b＋c，但abc≠1，
∴“abc＝1”是“
≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
4．（2017·
山东师大附中月考）已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a2＋b2＋c2≥2B．（a＋b＋c）2≥3
D．abc（a＋b＋c）≤
解析 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加可知2（a2＋b2＋c2）≥2（bc＋ab＋ac），∴a2＋b2＋c2≥1.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.∴（a＋b＋c）2≥3.
5．已知a>
0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋
，n＝a＋
，则m＋n的最小值是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
解析 由题意知ab＝1，则m＝b＋
＝2b，n＝a＋
＝2a，
∴m＋n＝2（a＋b）≥4
＝4（当且仅当a＝b＝1时，等号成立）．
6．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝
的最大值为________．
答案 2
由
可得
，当且仅当3x＝2y，即x＝
，y＝
易知W>
0，W2＝3x＋2y＋2
·
＝10＋2
≤10＋（
）2＋（
）2＝10＋（3x＋2y）＝20，∴W≤2
7．已知三个正数a，b，c成等比数列，则
解析 由条件可知a，b，c>
0且b2＝ac，即b＝
，故
＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，令
＝t，则y＝t＋
在[2，＋∞）上单调递增，故其最小值为2＋
，即
8．（2018·
河南郑州外国语学校月考）某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p
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