浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训12 圆锥曲线的定义方程几何性质 Word版含答案.docx
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浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训12圆锥曲线的定义方程几何性质Word版含答案
专题限时集训（十二）
圆锥曲线的定义、方程、几何性质
（对应学生用书第141页）
[建议A、B组各用时：
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．设F为抛物线C：
y2＝4x的焦点，曲线y＝
（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝（ ）
A.
B．1
C.
D．2
D [∵y2＝4x，∴F（1,0）．
又∵曲线y＝
（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，
∴P（1,2）．
将点P（1,2）的坐标代入y＝
（k＞0）得k＝2.故选D.]
2．过点A（0,1）作直线，与双曲线x2－
＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0 B．2
C．4 D．无数
C [过点A（0,1）和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A（0,1）和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]
3．已知双曲线
－
＝1（a>0，b>0）的焦距为2
，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A.
－y2＝1B．x2－
＝1
C.
－
＝1D.
－
＝1
A [由焦距为2
得c＝
.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以
＝
.
又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为
－y2＝1.]
4．设点P是椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
A [因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有
×2c×r＝
×（|PF1|＋|PF2|＋2c）×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝
.]
5．已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）【导学号：
68334127】
A.
＋
＝1B.
＋
＝1
C.
＋
＝1D.
＋
＝1
D [椭圆的离心率e＝
＝
＝
，
所以a＝2b.
所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为
，
所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为
b×
b＝4，
所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.
所以椭圆C的方程为
＋
＝1.故选D.]
二、填空题
6．双曲线M：
x2－
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．
[根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得（c＋2）2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝
＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为
.]
7．已知F1，F2为
＋
＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.
【导学号：
68334128】
25 [由题意得内切圆的半径等于
，因此△MF1F2的面积为
×
×（2a＋2c）＝
，即
＝
×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]
8．（2017·绍兴一中高考考前适应性考试）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C
，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3
，则p的值为________．
[由抛物线y2＝2px可得F
，则|CF|＝
－
＝3p，又|CF|＝2|AF|，则|AF|＝
，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＝
，所以xA＝p，则|yA|＝
p.由CF∥AB得△ABE∽△FCE，从而得
＝
＝
＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6
，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9
，所以
×3p×
p＝9
，解得p＝
.
]
三、解答题
9．（2017·温州市普通高中高考模拟考试）已知A，B，C是抛物线y2＝2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC.
（1）若A（1,2），B（4，－4），求点C的坐标；
（2）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．
图125
[解]
（1）∵A（1,2）在抛物线上，
∴p＝2.2分
设C
，则由kABkAC＝－1，得t＝6，
即C（9,6）.4分
（2）设A（x0，y0），B
，C
，
则直线BC的方程为（y1＋y2）y＝2px＋y1y2，6分
由kABkAC＝
·
＝－1，
得y0（y1＋y2）＋y1y2＋y
＝－4p2，8分
代入直线BC的方程，得（y1＋y2）（y＋y0）＝2p（x－2p－x0），
故直线BC恒过点E（x0＋2p，－y0），
因此直线AE的方程为y＝－
（x－x0）＋y0，10分
代入抛物线的方程y2＝2px（p＞0），
得点D的坐标为
.
因为线段AD总被直线BC平分，
所以
13分
解得x0＝
，y0＝±p
即点A的坐标为
.15分
10．已知椭圆E：
＋
＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
[解] 设M（x1，y1），则由题意知y1>0.
（1）当t＝4时，E的方程为
＋
＝1，A（－2,0）.2分
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为
.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入
＋
＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝
，所以y1＝
.4分
因此△AMN的面积S△AMN＝2×
×
×
＝
.5分
（2）由题意t＞3，k＞0，A（－
，0）．
将直线AM的方程y＝k（x＋
）代入
＋
＝1得
（3＋tk2）x2＋2
·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·（－
）＝
得x1＝
，
故|AM|＝|x1＋
|
＝
.7分
由题设，直线AN的方程为y＝－
（x＋
），
故同理可得|AN|＝
.
由2|AM|＝|AN|得
＝
，
即（k3－2）t＝3k（2k－1）．
当k＝
时上式不成立，因此t＝
.9分
t＞3等价于
＝
＜0，
即
＜0.11分
由此得
或
解得
＜k＜2.
因此k的取值范围是（
，2）.15分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．（2017·湖州调测）已知点A是抛物线C：
x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0,8）为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（ ）
A.
B．2
C．6 D.
D [由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为
，又点A是抛物线C上一点，所以
＝2p×4，解得p＝
.]
2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为
＋
＝1，随着a的增大该椭圆的形状
（ ）
A．越接近于圆B．越扁
C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆
D [由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－
＜a＜2＋
，又e2＝1－
＝1－
＝1－
.因此当a∈（2－
，1）时，e越来越大，当a∈（1,2＋
）时，e越来越小，故选D.]
3．已知F1，F2分别是双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|（a为实半轴），则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）【导学号：
68334129】
A．（1，＋∞）B．（2,3]
C．（1,3]D．（1,2]
C [由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以
＝|PF1|＋
＋4a＝8a，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2a，所以e＝
≤3.又e＞1，所以1＜e≤3.故选C.]
4．（2017·嘉兴调测）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为（ ）
A.
B．1
C.
D．2
A [设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab≥（a＋b）2－
2＝
（a＋b）2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN，
∴|AB|2≥
|2MN|2，∴
≤
.]
二、填空题
5．设F1，F2是椭圆x2＋
＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2＝________.
[由题意F1（－c,0），F2（c,0），AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），
则|AF1|＝3|F1B|，∴（－c－c，－b2）＝3（x＋c，y），∴B
，代入椭圆方程可得
2＋
＝1.∵1＝b2＋c2，∴b2＝
.]
6．（2017·杭州学军中学高三模拟）已知抛物线y＝x2和直线l：
y＝kx＋m（m＞0）交于两点A，B，当
·
＝2时，直线l过定点________；当m＝________时，以AB为直径的圆与直线y＝－
相切．
（0,2）
[设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立方程y＝x2与y＝kx＋m，消去y得x2－kx－m＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝－m ①
所以y1y2＝m2，y1＋y2＝k2＋2m ②
又
·
＝（x1，y1）·（x2，y2）＝x1x2＋y1y2＝2，所以m2－m－2＝0，又m＞0，所以m＝2，则直线的方程为y＝kx＋2，故过定点（0,2）．以AB为直径的圆与直线y＝－
相切，故满足方程2
＝
＝
，将①②代入，得4m2－2m＋
＝0，解得m＝
.]
三、解答题
7．如图126，椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝
|BF|.
图126
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若点M
在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．
【导学号：
68334130】
[解]
（1）由已知|AB|＝
|BF|，即
＝
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