高考数学文一轮复习讲练测专题91 直线的方程 讲答案解析Word格式.docx
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B.
C.
D.
4.【基础经典试题】已知直线
:
,则
倾斜角的范围是.
【答案】
∪
.
5.【基础经典试题】直线
的倾斜角的大小是.
【解析】
试题分析:
由直线方程可知其斜率为
,设其倾斜角为
,因为
,所以
.
6.【基础经典试题】
(1)已知直线过点
,求直线的斜率和倾斜角.;
(2)已知直线过点
,求直线的斜率和倾斜角的范围.
(3)已知
两点,直线
过点
且与线段
相交,直线
的斜率
的取值范围是.
(1)
;
(2)
(3)
(3)在坐标系内作出
三点(如图所示),
直线
的斜率为
,直线
.由图可知直线
的取值范围是:
二、【考点深度剖析】
高考对直线方程的考查要求较低,均是以小题的形式进行考查,一般难度不大,要求考生熟练掌握直线方程的基础知识.纵观近几年的高考试题,主要考查以下两个方面:
一是考查直线的斜率与倾斜角,二是考查直线方程的几种形式.
三、【经典例题精析】
考点1直线的倾斜角与斜率
【1-1】经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为
,则y=( )
A.-1B.-3C.0D.2
【1-2】【【百强校】2015-2016学年广东仲元中学】直线
的倾斜角为
,则
=.
【解析】因为直线
所以
.
【课本回眸】
1.直线的倾斜角
①定义.当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角
叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°
②范围:
倾斜角
的范围为
2.直线的斜率
①定义.一条直线的倾斜角
的正切叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即
,倾斜角是90°
的直线没有斜率.当直线
与x轴平行或重合时,
②过两点的直线的斜率公式.经过两点
的直线的斜率公式为
3.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为90°
的直线斜率不存在.
4.直线的倾斜角
、斜率k之间的大小变化关系:
(1)当
时,
越大,斜率越大;
(2)当
越大,斜率越大.
【方法规律技巧】
1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y=tanx的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制;
2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y=tanx的单调性求k的范围.
【新题变式探究】
【变式一】坐标平面内有相异两点
,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是
,且
.设直线的倾斜角为
时,则
,所以倾斜角
.当
【变式二】已知
【综合点评】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标,则直接利用斜率公式求斜率;
若条件中给出一条直线,则求出直线上的两点的坐标,然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角,则先求出直线的斜率,再利用
求倾斜角.
2.求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子,则利用函数或不等式的方法求其范围;
若是给出图形求斜率与倾斜角的范围,则采用数开结合的方法求其范围.
考点2直线的方程
【2-1】三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程.
【2-2】已知点A(-3,-1),B(1,5),直线
过线段AB的中点,且在
轴上的截距是它在
轴上的截距的2倍.求直线
的方程.
1.直线的点斜式方程:
经过点
,且斜率为
,则直线
的方程为:
.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地,直线
.这个方程叫做直线的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
过两点
其中
.这个方程叫做直线的两点式方程.
当
时,直线与
轴垂直,所以直线方程为:
轴垂直,直线方程为:
特别地,若直线
,这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于
的二元一次方程
(A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得,B不为0时,斜率
,截距
求直线方程的常用方法有
1.直接法:
根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程.
2.待定系数法:
先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程.
3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离.
【变式一】直线
,若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线
的方程.
【答案】
或
【变式二】将直线
绕点
按逆时针方向旋转
,求所得直线的方程.
【解析】直线
的倾斜角为
,点
上,绕点
,所得直线的倾斜角为
,其斜率为
,所以由点斜式方程得,
.即为所求.
【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法:
直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程;
待定系数法是用字母表示某些量,把方程设出来,然后再根据题设把这些量求出来,从而得到直线的方程的方法.
四、【易错试题常警惕】
易错典例:
设直线l的方程为
(1)若
在两坐标轴上截距相等,求
的方程;
(2)若
不经过第二象限,求实数
的取值范围.
易错分析:
易忽视截距均为
的情况而失解.
正确解析:
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,∴
,方程即为
当直线不经过原点时,截距存在且均不为0,
=
,即
方程即为
.综上,
的方程为
温馨提醒:
涉及直线在两坐标轴上截距相等问题,要特别注意截距均为
的情况;
另外,某些涉及直线问题中,往往要讨论直线的斜率是否存在的情况,也应特别注意.
五、【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:
"
数形结合百般好,隔裂分家万事休。
数"
与"
形"
反映了事物两个方面的属性。
我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"
以形助数"
或"
以数解形"
即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;
第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;
第三是正确确定参数的取值范围.
【典例】【【百强校】2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】已知点P在直线
上,点Q在直线
上,线段PQ的中点
的取值范围是()
C.
【答案】D