课堂新坐标高考数学浙江专版二轮复习练习专题12 圆锥曲线的定义方程几何性质含答案解析Word格式文档下载.docx
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(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2=±
2px(p>0)的焦点坐标为
,准线方程为x=∓
②抛物线x2=±
2py(p>0)的焦点坐标为
,准线方程为y=∓
提炼3
弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=
|x1-x2|=
·
或|AB|=
|y1-y2|=
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=
,y1y2=-p2;
②弦长|AB|=x1+x2+p=
(α为弦AB的倾斜角);
③
+
④以弦AB为直径的圆与准线相切.
回访1 椭圆及其性质
1.(2016·
浙江高考)已知椭圆C1:
+y2=1(m>
1)与双曲线C2:
-y2=1(n>
0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>
n且e1e2>
1B.m>
n且e1e2<
1
C.m<
1D.m<
A [C1的焦点为(±
,0),C2的焦点为
(±
,0),
∵C1与C2的焦点重合,
∴
,∴m2=n2+2,∴m2>
n2.
∵m>
1,n>
0,∴m>
n.
∵C1的离心率e1=
,C2的离心率e2=
,
∴e1e2=
>
=1.]
2.(2015·
浙江高考)椭圆
=1(a>
b>
0)的右焦点F(c,0)关于直线y=
x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________.
[设椭圆的另一个焦点为F1(-c,0),如图,连接QF1,QF,设QF与直线y=
x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点,
∴F1Q∥OM,
∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|.
在Rt△MOF中,tan∠MOF=
,|OF|=c,
可解得|OM|=
,|MF|=
故|QF|=2|MF|=
,|QF1|=2|OM|=
由椭圆的定义得|QF|+|QF1|=
=2a,
整理得b=c,∴a=
c,
故e=
.]
3.(2014·
浙江高考)如图121,设椭圆C:
0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.
图121
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:
点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
[解]
(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<
0),由
消去y,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.2分
由于l与椭圆C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为
.4分
又点P在第一象限,
故点P的坐标为
.6分
(2)证明:
由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离
d=
,8分
整理,得d=
.10分
因为a2k2+
≥2ab,
所以
≤
=a-b,12分
当且仅当k2=
时等号成立.
所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.15分
回访2 双曲线及其性质
4.(2016·
浙江高考)设双曲线x2-
=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.
(2
,8) [∵双曲线x2-
=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,∴|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=2.若△F1PF2为锐角三角形,则由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-16>
0,可化为(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·
|PF2|>
16①.由||PF1|-|PF2||=2,得(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1||PF2|=4.故2|PF1||PF2|=
,代入不等式①可得(|PF1|+|PF2|)2>
28,解得|PF1|+|PF2|>
2
.不妨设P在左支上,∵|PF1|2+16-|PF2|2>
0,即(|PF1|+|PF2|)·
(|PF1|-|PF2|)>
-16,又|PF1|-|PF2|=-2,
∴|PF1|+|PF2|<
8.故2
<
|PF1|+|PF2|<
8.]
5.(2015·
浙江高考)双曲线
-y2=1的焦距是________,渐近线方程是________.
y=±
x [由双曲线标准方程,知双曲线焦点在x轴上,且a2=2,b2=1,∴c2=a2+b2=3,即c=
,∴焦距2c=2
,渐近线方程为y=±
x,即y=±
x.]
6.(2014·
浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线
0,b>
0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
[双曲线
=1的渐近线方程为y=±
x.
由
得A
得B
所以AB的中点C坐标为
设直线l:
x-3y+m=0(m≠0),
因为|PA|=|PB|,所以PC⊥l,
所以kPC=-3,化简得a2=4b2.
在双曲线中,c2=a2+b2=5b2,所以e=
回访3 抛物线及其性质
7.(2015·
浙江高考)如图122,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
图122
A.
B.
C.
D.
A [由图形可知,△BCF与△ACF有公共的顶点F,且A,B,C三点共线,易知△BCF与△ACF的面积之比就等于
由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l的方程为x=-1.∵点A,B在抛物线上,过A,B分别作AK,BH与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义,得|BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1.在△CAN中,BM∥AN,
8.(2016·
浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M点到y轴的距离是________.
9 [设点M的横坐标为x,则点M到准线x=-1的距离为x+1,
由抛物线的定义知x+1=10,∴x=9,
∴点M到y轴的距离为9.]
9.(2016·
浙江高考)如图123,设抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
图123
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.
[解]
(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,2分
由抛物线的定义得
=1,即p=2.4分
(2)由
(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±
1.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:
x=sy+1(s≠0),
消去x得y2-4sy-4=0,6分
故y1y2=-4,所以B
.7分
又直线AB的斜率为
,故直线FN的斜率为-
,从而得直线FN:
y=-
(x-1),直线BN:
,所以N
.8分
设M(m,0),由A,M,N三点共线得
于是m=
=2+
,11分
所以m<
0或m>
2.
经检验,m<
2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).15分
热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程
题型分析:
圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容,主要以选择、填空的形式考查,解题时分两步走:
第一步,依定义定“型”,第二步,待定系数法求“值”.
(1)(2016·
全国乙卷)已知方程
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,
)
C.(0,3)D.(0,
(2)已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若
=4
,则|QF|=( )
B.3C.
D.2
(1)A
(2)B [
(1)若双曲线的焦点在x轴上,则
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-1<
n<
3.
若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为
=1,即
即n>
3m2且n<
-m2,此时n不存在.故选A.
(2)如图所示,因为
,所以
,过点Q作QM⊥l垂足为M,则MQ∥x轴,
,所以|MQ|=3,由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.]
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”
1.定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.
2.计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
[变式训练1]
(1)(2016·
郑州二模)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为( )
【导学号:
58962050】
=1B.
-y2=1
=1D.
=1
(2)(2016·
金华十校第一学期调研)已知抛物线C:
y2=2px(p>
0),O为坐标原点,F为其焦点,准线与x轴交点为E,P为抛物线上任意一点,则
( )
图124
A.有最小值
B.有最小值1
C.无最小值
D.最小值与p有关
(1)A
(2)A [
(1)设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由题意知
=1,解得k=±
,则双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为
=1,
则有
解得
故选A.
(2)过点P作PF′垂直于准线交准线于F′.设P
,故|PF′|=
,|EF′|=y,因为
≤1,此时
有最小值
,故选A.]
热点题型2 圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点,其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一,建立关于a,c的方程或不等式是求解的关键.
全国丙卷)已知O为坐标