考研数二真题标准答案及解析Word文档格式.docx
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(A)(B)
(C)(D)
(11)设为连续函数,则等于
(C)(D)【】
(12)设与均为可微函数,且.已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若,则.
(B)若,则.
(C)若,则.
(D)若,则.【】
(13)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是
(A)若线性相关,则线性相关.
(B)若线性相关,则线性无关.
(C)若线性无关,则线性相关.
(D)若线性无关,则线性无关.【】
(14)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则
(A)(B)
(C)(D)
三解答题
15.试确定A,B,C的常数值,使得,其中是当
.
16..
17.,
18.
;
19.
20设函数满足等式.
(Ⅰ)验证;
(Ⅱ)若.
21已知曲线的方程为
(Ⅰ)讨论的凹凸性;
(Ⅱ)过点(-1,0)引的切线,求切点,并写出切线的方程;
(Ⅲ)求此切线与(对应于的部分)及轴所围成的平面图形的面积.
22已知非齐次线性方程组
Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩;
Ⅱ求的值及方程组的通解.
23设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.
2006年全国硕士研究生入学考试数学
(二)真题解析
(1)曲线的水平渐近线方程为
(2)设函数在x=0处连续,则a=
(3)广义积分
(4)微分方程的通解是
(5)设函数确定,则
当x=0时,y=1,
又把方程每一项对x求导,
(6)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.
-12
解:
由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
(7)设函数具有二阶导数,且为自变量x在点x0处的增量,,则[A]
由严格单调增加
是凹的
即知
(8)设是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则
是[B]
(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数
(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数
(9)设函数则g
(1)等于[C]
(A)(B)
(C)(D)
∵,g
(1)=
(10)函数满足的一个微分方程是[D]
将函数代入答案中验证即可.
(11)设为连续函数,则等于[C]
(12)设均为可微函数,且在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D]
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
今代入
(1)得
今故选[D]
(13)设α1,α2,…,αs都是n维向量,A是mn矩阵,则()成立.
(A)若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
(B)若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
(C)若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
(D)若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
(A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得
c1α1+c2α2+…+csαs=0,
用A左乘等式两边,得
c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0,
于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
1.α1,α2,…,αs线性无关r(α1,α2,…,αs)=s.
2.r(AB)r(B).
矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A(α1,α2,…,αs),因此
r(Aα1,Aα2,…,Aαs)r(α1,α2,…,αs).
由此马上可判断答案应该为(A).
(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110
P=010,则
001
(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.
(B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B=PA,
1-10
C=B010=BP-1=PAP-1.
三、解答题
(15)试确定A,B,C的常数值,使其中是当.
解:
泰勒公式代入已知等式得
整理得
比较两边同次幂函数得
B+1=A①
C+B+=0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
(16)求.
原式=
(17)设区域,计算二重积分.
用极坐标系
(18)设数列满足,
证明:
(1)存在,并求极限;
(2)计算.
证:
(1)
单调减少有下界
根据准则1,存在
在两边取极限得
因此
(2)原式
离散型不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
.
(19)证明:
当时,.
证:
令
只需证明严格单调增加
严格单调减少
又
故单调增加(严格)
得证
(20)设函数内具有二阶导数,且满足等式.
(I)验证;
(II)若求函数.
(I)
(II)令
(21)已知曲线L的方程
(I)讨论L的凹凸性;
(II)过点引L的切线,求切点,并写出切线的方程;
(III)求此切线与L(对应部分)及x轴所围的平面图形的面积.
解:
(II)切线方程为,设,,
则
得
点为(2,3),切线方程为
(III)设L的方程
则
由于(2,3)在L上,由
(22)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1,
ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关的解.
证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
求a,b的值和方程组的通解.
设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.
又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.
两个不等式说明r(A)=2.
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1111-11111-1
(A|β)=435-1-10–11–53,
a13b1004-2a4a+b-54-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
102-42
01-15-3.
00000
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4,
x2=-3+x3-5x4,
求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.
(23)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
求A的特征值和特征向量.
求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ=.
条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即α0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.
属于3的特征向量:
cα0,c0.
属于0的特征向量:
c1α1+c2α2,c1,c2不都为0.
将α0单位化,得η0=(,,)T.
对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-,)T,η2=(-,,)T.
作Q=(η0,η1,η2),则Q是正交矩阵,并且
300
QTAQ=Q-1AQ=000.
000