考研数二真题标准答案及解析Word文档格式.docx

1、 （A） （B） （C） （D）（11）设为连续函数，则等于 （C） （D） 【 】（12）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则. 【 】（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关.（D）若线性无关，则线性无关. 【 】（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A） （B） （C） （D） 三 解答题15试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当.16 .17，

2、18 ；19 20 设函数满足等式.（）验证；（）若.21 已知曲线的方程为（）讨论的凹凸性；（）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组证明方程组系数矩阵A的秩；求的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, （）求A的特征值与特征向量 （）求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析（1）曲线的水平渐近线方程为（2）设函数在x=0处连续，则a=（3）广义积分（4）微分方程的通解是（5）设函数确定，则 当x

3、=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导， （6） 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2解:由BA=B +2E化得B（A-E）=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量， ，则A 由严格单调增加 是凹的 即知（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则 是B （A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数 （C）在x=0间断的奇函数 （D）在x=0间断的偶函数（9）设函数则g（1）等于C （A） （B） （C） （D）， g（1）= （10）函数满

4、足的一个微分方程是D将函数代入答案中验证即可.（11）设为连续函数，则等于C（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是D （A）若 （B）若 （C）若 （D）若今代入（1） 得 今 故选D（13）设1,2,s 都是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.（A） 若1,2,s线性相关,则A1,A2,As线性相关.（B） 若1,2,s线性相关,则A1,A2,As线性无关.（C） 若1,2,s线性无关,则A1,A2,As线性相关.（D） 若1,2,s线性无关,则A1,A2,As线性无关. （A）本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若1,2,s线性相关,则存在不全为0

5、的数c1,c2,cs使得 c11+c22+css=0,用A左乘等式两边,得c1A1+c2A2+csAs=0,于是A1,A2,As线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. 1,2,s 线性无关 r（1,2,s ）=s.2. r（AB） r（B）.矩阵（A1,A2,As）=A（ 1, 2,s ）,因此r（A1,A2,As） r（1, 2,s ）.由此马上可判断答案应该为（A）.（14）设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1（A） C=P-1AP. （B） C=PAP-1

6、. （C） C=PTAP. （D） C=PAPT. （B）用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.三、解答题（15）试确定A，B，C的常数值，使其中是当. 解：泰勒公式代入已知等式得 整理得 比较两边同次幂函数得 B+1=A C+B+=0 式-得 代入得 代入得 （16）求.原式= （17）设区域， 计算二重积分.用极坐标系（18）设数列满足， 证明：（1）存在，并求极限； （2）计算. 证：（1） 单调减少有下界 根据准则1，存在 在两边取极限得 因此 （2）原式 离散型不能直接用洛必达法则 先考虑 用洛必达法则 .（19）证明：当

7、时，.证：令 只需证明严格单调增加 严格单调减少又故单调增加（严格） 得证（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式.（I）验证 ；（II）若求函数.（I） （II）令（21）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积.解： （II）切线方程为，设， 则 得 点为（2，3），切线方程为 （III）设L的方程则由于（2，3）在L上，由（22）已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解.证明此方

8、程组的系数矩阵A的秩为2.求a,b的值和方程组的通解. 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r（A）2,从而r（A）2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r（A）2.两个不等式说明r（A）=2.对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1（A|）= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r（A）=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -

9、3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一个特解（2,-3,0,0）T和AX=0的基础解系（-2,1,1,0）T,（4,-5,0,1） T.得到方程组的通解: （2,-3,0,0）T+c1（-2,1,1,0）T+c2（4,-5,0,1）T, c1,c2任意.（23） 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=（-1,2,-1）T, 2=（0,-1,1）T都是齐次线性方程组AX=0的解.求A的特征值和特征向量.求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得 Q TAQ=. 条件说明A（1,1,1）T=（3,3,3）T,即 0=（1,1,1）T是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c0, c0.属于0的特征向量:c11+c22, c1,c2不都为0.将0单位化,得0=（, ,）T.对1,2作施密特正交化,的1=（0,-,）T, 2=（-, ,）T.作Q=（0,1,2）,则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0