大学《高等数学》知识点梳理全册文档格式.docx
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2.泰勒公式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
五.常规方法:
前提:
(1)准确判断(其它如:
);
(2)变量代换(如:
)
1.抓大弃小,
2.无穷小与有界量乘积()(注:
3.处理(其它如:
4.左右极限(包括):
,
5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:
非零因子)
6.洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(最后方法);
(注意对比:
与)
(2)幂指型处理:
(如:
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7.泰勒公式(皮亚诺余项):
处理和式中的无穷小
8.极限函数:
(分段函数)
六.非常手段
1.收敛准则:
(1)
(2)双边夹:
*,*
(3)单边挤:
***
2.导数定义(洛必达?
):
3.积分和:
4.中值定理:
5.级数和(数一三):
(1)收敛,(如)
(2),
(3)与同敛散
七.常见应用:
1.无穷小比较(等价,阶):
(1)
(2)
2.渐近线(含斜):
(2),()
3.连续性:
(1)间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:
极限函数,连续性)
八.上连续函数性质
1.连通性:
(注:
“平均”值:
2.介值定理:
(附:
达布定理)
(1)零点存在定理:
(根的个数);
(2).
第二讲:
导数及应用(一元)(含中值定理)
一.基本概念:
1.差商与导数:
;
(1)(注:
连续))
(2)左右导:
(3)可导与连续;
(在处,连续不可导;
可导)
2.微分与导数:
(1)可微可导;
(2)比较与的大小比较(图示);
二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;
2.法则:
(1)四则运算;
(2)复合法则;
(3)反函数
三.各类求导(方法步骤):
1.定义导:
(1)与;
(2)分段函数左右导;
(3)
(注:
求:
及的连续性)
2.初等导(公式加法则):
(1),求:
(图形题);
(2),求:
(3),求及(待定系数)
3.隐式()导:
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
4.参式导(数一,二):
5.高阶导公式:
注:
与泰勒展式:
四.各类应用:
1.斜率与切线(法线);
(区别:
上点和过点的切线)
2.物理:
(相对)变化率速度;
3.曲率(数一二):
(曲率半径,曲率中心,曲率圆)
4.边际与弹性(数三):
需求,收益,成本,利润)
五.单调性与极值(必求导)
1.判别(驻点):
(2)分段函数的单调性
(3)零点唯一;
驻点唯一(必为极值,最值).
2.极值点:
(1)表格(变号);
(由的特点)
(2)二阶导()
注
(1)与的匹配(图形中包含的信息);
(2)实例:
由确定点“”的特点.
(3)闭域上最值(应用例:
与定积分几何应用相结合,求最优)
3.不等式证明()
(1)区别:
*单变量与双变量?
*与?
(2)类型:
(3)注意:
单调性端点值极值凹凸性.(如:
4.函数的零点个数:
单调介值
六.凹凸与拐点(必求导!
1.表格;
()
2.应用:
(1)泰勒估计;
(2)单调;
(3)凹凸.
七.罗尔定理与辅助函数:
最值点必为驻点)
1.结论:
2.辅助函数构造实例:
(4);
3.有个零点有个零点
4.特例:
证明的常规方法:
令有个零点(待定)
5.注:
含时,分家!
(柯西定理)
6.附(达布定理):
在可导,,,使:
八.拉格朗日中值定理
2.估计:
九.泰勒公式(连接之间的桥梁)
在已知或值时进行积分估计
十.积分中值定理(附:
广义):
[注:
有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲:
一元积分学
1.原函数:
(3)
注
(1)(连续不一定可导);
(2)(连续)
2.不定积分性质:
二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆(线性性)
3.凑微法(基础):
要求巧,简,活()
如:
4.变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):
(2)作用与引伸(化简):
5.分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如);
(2)“反对幂三指”:
(3)特别:
(*已知的原函数为;
*已知)
6.特例:
(2)快速法;
三.定积分:
1.概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续)
(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
(3)附:
)
(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
2:
变限积分的处理(重点)
(1)可积连续,连续可导
(2);
(3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题
3.公式:
(在上必须连续!
)
(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性
(2)有理式,三角式,根式
(3)含的方程.
(1),
(2)(如:
(3),
(5),
5.分部积分
(1)准备时“凑常数”
(2)已知或时,求
6.附:
三角函数系的正交性:
四.反常积分:
(1)(连续)
(2):
(在处为无穷间断)
2.敛散;
3.计算:
积分法公式极限(可换元与分部)
五.应用:
(柱体侧面积除外)
1.面积,
(1)
(2);
(4)侧面积:
2.体积:
(3)与
3.弧长:
(3):
4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,
5.平均值(中值定理):
(2),(以为周期:
第四讲:
微分方程
一.基本概念
1.常识:
通解,初值问题与特解(注:
应用题中的隐含条件)
2.变换方程:
(1)令(如欧拉方程)
(2)令(如伯努利方程)
3.建立方程(应用题)的能力
二.一阶方程:
1.形式:
2.变量分离型:
(1)解法:
(2)“偏”微分方程:
3.一阶线性(重点):
(1)解法(积分因子法):
(2)变化:
(3)推广:
伯努利(数一)
4.齐次方程:
(2)特例:
5.全微分方程(数一):
且
6.一阶差分方程(数三):
三.二阶降阶方程
1.:
2.:
令
3.:
四.高阶线性方程:
1.通解结构:
(1)齐次解:
(2)非齐次特解:
2.常系数方程:
(1)特征方程与特征根:
(2)非齐次特解形式确定:
待定系数;
的算子法)
(3)由已知解反求方程.
3.欧拉方程(数一):
令
五.应用(注意初始条件):
1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);
切线和法线的截距
2.积分等式变方程(含变限积分);
可设
3.导数定义立方程:
含双变量条件的方程
4.变化率(速度)
5.
6.路径无关得方程(数一):
7.级数与方程:
(1)幂级数求和;
(2)方程的幂级数解法:
8.弹性问题(数三)
第五讲:
多元微分与二重积分
一.二元微分学概念
1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),
(3)(判别可微性)
点处的偏导数与全微分的极限定义:
2.特例:
(1):
点处可导不连续;
点处连续可导不可微;
二.偏导数与全微分的计算:
1.显函数一,二阶偏导:
(1)型;
(3)含变限积分
2.复合函数的一,二阶偏导(重点):
熟练掌握记号的准确使用
3.隐函数(由方程或方程组确定):
(1)形式:
*(存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):
(要求:
二阶导)
(3)注:
与的及时代入
(4)会变换方程.
三.二元极值(定义?
);
1.二元极值(显式或隐式):
(1)必要条件(驻点);
(2)充分条件(判别)
2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:
应用)
(1)目标函数与约束条件:
(或:
多条件)
(2)求解步骤:
求驻点即可.
3.有界闭域上最值(重点).
距离问题
四.二重积分计算:
1.概念与性质(“积”前工作):
(2)对称性(熟练掌握):
*域轴对称;
*奇偶对称;
*字母轮换对称;
*重心坐标;
(3)“分块”积分:
*分片定义;
*奇偶
2.计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换):
以“”为主;
(2)交换积分次序(熟练掌握).
3.极坐标使用(转换):
附:
双纽线
(1)