大学《高等数学》知识点梳理全册文档格式.docx

1、 2. 泰勒公式: （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） .五. 常规方法: 前提: （1）准确判断 （其它如: ）; （2）变量代换（如: ） 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 （） （注: 3. 处理（其它如: 4. 左右极限（包括）: , , 5. 无穷小等价替换（因式中的无穷小）（注: 非零因子） 6. 洛必达法则 （1）先”处理”,后法则（最后方法）; （注意对比: 与） （2）幂指型处理: （如: （3）含变限积分; （4）不能用与不便用 7. 泰勒公式（皮亚诺余项）: 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: （分段函数）六. 非常手段 1. 收敛准则:

2、（1） （2）双边夹: *, * （3）单边挤: * * * 2. 导数定义（洛必达?）: 3. 积分和: , 4. 中值定理: 5. 级数和（数一三）: （1） 收敛, （如） （2） , （3） 与同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较（等价,阶）: （1） （2） 2. 渐近线（含斜）: （2） ,（ ） 3. 连续性: （1）间断点判别（个数）; （2）分段函数连续性（附:极限函数, 连续性）八. 上连续函数性质 1. 连通性: （注: , “平均”值: 2. 介值定理: （附: 达布定理） （1）零点存在定理: （根的个数）; （2） . 第二讲:导数及应用（一元）（含中值定理）一

3、. 基本概念: 1. 差商与导数: ; （1） （注: 连续） ） （2）左右导: （3）可导与连续; （在处, 连续不可导; 可导） 2. 微分与导数: （1）可微可导; （2）比较与的大小比较（图示）;二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; 2. 法则: （1）四则运算; （2）复合法则; （3）反函数三. 各类求导（方法步骤）: 1. 定义导: （1） 与; （2）分段函数左右导; （3） （注: , 求: 及的连续性） 2. 初等导（公式加法则）: （1） , 求: （图形题）; （2） , 求: （3） ,求及 （待定系数） 3. 隐式（）导: （1）存在定理; （2）微分法

4、（一阶微分的形式不变性）. （3）对数求导法. 4. 参式导（数一,二）: 5. 高阶导公式: 注: 与泰勒展式:四. 各类应用: 1. 斜率与切线（法线）; （区别: 上点和过点的切线） 2. 物理: （相对）变化率速度; 3. 曲率（数一二）: （曲率半径, 曲率中心, 曲率圆） 4. 边际与弹性（数三）: 需求, 收益, 成本, 利润）五. 单调性与极值（必求导） 1. 判别（驻点）: （2）分段函数的单调性 （3） 零点唯一; 驻点唯一（必为极值,最值）. 2. 极值点: （1）表格（变号）; （由的特点） （2）二阶导（） 注（1） 与的匹配（图形中包含的信息）; （2）实例: 由确

5、定点“”的特点. （3）闭域上最值（应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优） 3. 不等式证明（） （1）区别: *单变量与双变量? *与? （2）类型: （3）注意: 单调性端点值极值凹凸性. （如: 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点（必求导! 1. 表格; （） 2. 应用: （1）泰勒估计; （2） 单调; （3）凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: 最值点必为驻点） 1. 结论: 2. 辅助函数构造实例: （4） ; 3. 有个零点有个零点 4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点（待定） 5. 注: 含时,分家!（柯西定理） 6. 附（达布定理）: 在可导, , ,使

6、:八. 拉格朗日中值定理 2. 估计:九. 泰勒公式（连接之间的桥梁） 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理（附:广义）: 注:有定积分（不含变限）条件时使用 第三讲: 一元积分学 1. 原函数: （3） 注（1） （连续不一定可导）; （2） （连续） 2. 不定积分性质:二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆（线性性） 3. 凑微法（基础）: 要求巧,简,活（） 如: 4. 变量代换: （1）常用（三角代换,根式代换,倒代换）: （2）作用与引伸（化简）: 5. 分部积分（巧用）: （1）含需求导的被积函数（如）; （2）“反对幂三指”: （3）特别:

7、（*已知的原函数为; *已知） 6. 特例: （2） 快速法;三. 定积分: 1. 概念性质: （1）积分和式（可积的必要条件:有界, 充分条件:连续） （2）几何意义（面积,对称性,周期性,积分中值） （3）附: , ） （4）定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分的处理（重点） （1） 可积连续, 连续可导 （2） ; （3）由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分（方程）问题 3. 公式: （在上必须连续!） （1）分段积分, 对称性（奇偶）, 周期性 （2）有理式, 三角式, 根式 （3）含的方程. （1） , （2） （如: （3） , （5） , 5. 分部积

8、分 （1）准备时“凑常数” （2）已知或时, 求 6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分: （1） （连续） （2） : （在处为无穷间断） 2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限（可换元与分部）五. 应用: （柱体侧面积除外） 1. 面积, （1） （2） ; （4）侧面积: 2. 体积: （3） 与 3. 弧长: （3） : 4. 物理（数一,二）功,引力,水压力,质心, 5. 平均值（中值定理）: （2） , （以为周期: 第四讲: 微分方程一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解（注: 应用题中的隐含条件） 2. 变换方程: （1）令 （如欧拉方程） （2）令

9、（如伯努利方程） 3. 建立方程（应用题）的能力二. 一阶方程: 1. 形式: 2. 变量分离型: （1）解法: （2）“偏”微分方程: 3. 一阶线性（重点）: （1）解法（积分因子法）: （2）变化: （3）推广: 伯努利（数一） 4. 齐次方程: （2）特例: 5. 全微分方程（数一）: 且 6. 一阶差分方程（数三）:三. 二阶降阶方程 1. : 2. : 令 3. :四. 高阶线性方程: 1. 通解结构: （1）齐次解: （2）非齐次特解: 2. 常系数方程: （1）特征方程与特征根: （2）非齐次特解形式确定: 待定系数; 的算子法） （3）由已知解反求方程. 3. 欧拉方程（数一

10、）: , 令五. 应用（注意初始条件）: 1. 几何应用（斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积）; 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程（含变限积分）; 可设 3. 导数定义立方程: 含双变量条件的方程 4. 变化率（速度） 5. 6. 路径无关得方程（数一）: 7. 级数与方程: （1）幂级数求和; （2）方程的幂级数解法: 8. 弹性问题（数三） 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续（必要条件与充分条件）, （3） （判别可微性） 点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例: （1） : 点处可导不连续; 点处

11、连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: （1） 型; （3）含变限积分 2. 复合函数的一,二阶偏导（重点）: 熟练掌握记号的准确使用 3. 隐函数（由方程或方程组确定）: （1）形式: * （存在定理） （2）微分法（熟练掌握一阶微分的形式不变性）: （要求: 二阶导） （3）注: 与的及时代入 （4）会变换方程.三. 二元极值（定义?）; 1. 二元极值（显式或隐式）: （1）必要条件（驻点）; （2）充分条件（判别） 2. 条件极值（拉格朗日乘数法） （注: 应用） （1）目标函数与约束条件: , （或: 多条件） （2）求解步骤: , 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值（重点）. 距离问题四. 二重积分计算: 1. 概念与性质（“积”前工作）: （2）对称性（熟练掌握）: *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; （3）“分块”积分: *分片定义; *奇偶 2. 计算（化二次积分）: （1）直角坐标与极坐标选择（转换）: 以“”为主; （2）交换积分次序（熟练掌握）. 3. 极坐标使用（转换）: 附: 双纽线 （1）