1、 2. 泰勒公式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) .五. 常规方法: 前提: (1)准确判断 (其它如: ); (2)变量代换(如: ) 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 () (注: 3. 处理(其它如: 4. 左右极限(包括): , , 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比: 与) (2)幂指型处理: (如: (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: (分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:
2、(1) (2)双边夹: *, * (3)单边挤: * * * 2. 导数定义(洛必达?): 3. 积分和: , 4. 中值定理: 5. 级数和(数一三): (1) 收敛, (如) (2) , (3) 与同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): (1) (2) 2. 渐近线(含斜): (2) ,( ) 3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)八. 上连续函数性质 1. 连通性: (注: , “平均”值: 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: (根的个数); (2) . 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一
3、. 基本概念: 1. 差商与导数: ; (1) (注: 连续) ) (2)左右导: (3)可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导) 2. 微分与导数: (1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示);二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤): 1. 定义导: (1) 与; (2)分段函数左右导; (3) (注: , 求: 及的连续性) 2. 初等导(公式加法则): (1) , 求: (图形题); (2) , 求: (3) ,求及 (待定系数) 3. 隐式()导: (1)存在定理; (2)微分法
4、(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): 5. 高阶导公式: 注: 与泰勒展式:四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: 上点和过点的切线) 2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): 需求, 收益, 成本, 利润)五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点): (2)分段函数的单调性 (3) 零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格(变号); (由的特点) (2)二阶导() 注(1) 与的匹配(图形中包含的信息); (2)实例: 由确
5、定点“”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明() (1)区别: *单变量与双变量? *与? (2)类型: (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点(必求导! 1. 表格; () 2. 应用: (1)泰勒估计; (2) 单调; (3)凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: 最值点必为驻点) 1. 结论: 2. 辅助函数构造实例: (4) ; 3. 有个零点有个零点 4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定) 5. 注: 含时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): 在可导, , ,使
6、:八. 拉格朗日中值定理 2. 估计:九. 泰勒公式(连接之间的桥梁) 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): 注:有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲: 一元积分学 1. 原函数: (3) 注(1) (连续不一定可导); (2) (连续) 2. 不定积分性质:二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性) 3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活() 如: 4. 变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): (2)作用与引伸(化简): 5. 分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如); (2)“反对幂三指”: (3)特别:
7、(*已知的原函数为; *已知) 6. 特例: (2) 快速法;三. 定积分: 1. 概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) (3)附: , ) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分的处理(重点) (1) 可积连续, 连续可导 (2) ; (3)由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 3. 公式: (在上必须连续!) (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含的方程. (1) , (2) (如: (3) , (5) , 5. 分部积
8、分 (1)准备时“凑常数” (2)已知或时, 求 6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分: (1) (连续) (2) : (在处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部)五. 应用: (柱体侧面积除外) 1. 面积, (1) (2) ; (4)侧面积: 2. 体积: (3) 与 3. 弧长: (3) : 4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值(中值定理): (2) , (以为周期: 第四讲: 微分方程一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程: (1)令 (如欧拉方程) (2)令
9、(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程: 1. 形式: 2. 变量分离型: (1)解法: (2)“偏”微分方程: 3. 一阶线性(重点): (1)解法(积分因子法): (2)变化: (3)推广: 伯努利(数一) 4. 齐次方程: (2)特例: 5. 全微分方程(数一): 且 6. 一阶差分方程(数三):三. 二阶降阶方程 1. : 2. : 令 3. :四. 高阶线性方程: 1. 通解结构: (1)齐次解: (2)非齐次特解: 2. 常系数方程: (1)特征方程与特征根: (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; 的算子法) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程(数一
10、): , 令五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设 3. 导数定义立方程: 含双变量条件的方程 4. 变化率(速度) 5. 6. 路径无关得方程(数一): 7. 级数与方程: (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法: 8. 弹性问题(数三) 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (3) (判别可微性) 点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例: (1) : 点处可导不连续; 点处
11、连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: (1) 型; (3)含变限积分 2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): 熟练掌握记号的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: * (存在定理) (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (要求: 二阶导) (3)注: 与的及时代入 (4)会变换方程.三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别) 2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用) (1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件) (2)求解步骤: , 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点). 距离问题四. 二重积分计算: 1. 概念与性质(“积”前工作): (2)对称性(熟练掌握): *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *分片定义; *奇偶 2. 计算(化二次积分): (1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 附: 双纽线 (1)
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