最新初中中考数学云南版第15讲等腰三角形精讲教学案.docx

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最新初中中考数学云南版第15讲等腰三角形精讲教学案

第15讲　等腰三角形

知识清单梳理）

　等腰三角形的边与角

1．等腰三角

（1）定义：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）性质：

等腰三角形的两个底角相等（简称“__等边对等角__”）．

2．

（1）等腰三角形的顶角角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合（简称“__三线合一__”）．

（2）判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“__等角对等边__”）．

3．等边三角形

（1）定义：

三边都相等的三角形叫做等边三角形．

（2）性质：

等边三角形的三个角都相等，且都等于60°.

（3）判定：

①__三个角都相等的三角形是等边三角形__；

②__有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形__．

4．线段的垂直平分线

（1）定义：

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

（2）性质：

__线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等__．

（3）判定：

到一条线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

5．角平分线

（1）性质：

__角平分线上的点到角两边的距离相等__．

（2）判定：

角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

　　　　　,云南省近五年高频考点题型示例）

　等腰三角形的性质

【例1】（2013玉溪中考）若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（　　　）

A．12B．16C．20D．16或20

【解析】等腰三角形的两边是4和8，没有告诉哪条边是腰，所以本题应从两方面思考：

情况一：

如果4是腰，8是底，那么三角形的三边分别是4，4，8.因为三角形三边关系是两边之和大于第三边，所以4，4，8不能组成三角形；情况二：

如果8是腰，4是底，那么三角形的三边分别是8，8，4.符合组成三角形的标准，所以三角形的周长为：

8＋8＋4＝20.

【答案】C

1．（2013昆明中考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有__8__个．

　角平分线的性质

【例2】（2014昆明中考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　　）

A．85°B．80°C．75°D．70°

【解析】首先由角平分线的性质求得∠ABD的度数，然后在△ABD中利用三角形外角性质求得∠BDC的度数即可．

【答案】A

　等边三角形的性质

【例3】（2015昆明中考）如图，△ABC是等边三角形，高AD，BE相交于点H，BC＝4，在BE上截取BG＝2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为________．

【解析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG＝∠HBD＝30°.根据等边三角形的判定定理，可得△MEH的形状．根据直角三角形的判定方法，可得△FIN的形状，根据面积的和差关系，可得答案．

【答案】

2．（2015曲靖中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，

过D作DE⊥AC于点E.若DE＝a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为__（6＋2）a__．

近五年遗漏考点及社会热点与创新题）

1.遗漏考点

　线段的垂直平分线

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为（　　　）

A．1B．2C．3D．4

【解析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B＝∠CAD＝∠DAB＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．

【答案】A

【例2】（2017荆州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　　）

A．30°B．45°

C．50°D．75°

【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠ABC＝∠ACB＝75°，再根据线段垂直平分线的性质，推出∠ABD＝∠A＝30°，再由角的和差即可求出∠CBD的度数．

【答案】B

2．创新题

【例3】（2017台州中考）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　　）

A．AE＝ECB．AE＝BE

C．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE

【解析】根据AB＝AC，BE＝BC，可得出∠ABC＝∠C，∠BEC＝∠C，从而可以得出∠ABC＝∠BEC，∠A＝∠EBC，可得出正确答案．

【答案】C

【例4】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB＝CE，则下列结论：

①DE＝DF；②AE＝AF；③BD＝CD；④AD⊥BC.其中正确的个数有（　　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】由AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，结合公共边AD，可证得△ADF≌△ADE，根据全等三角形的性质再结合FB＝CE，依次分析各小题即可．

【答案】D

【例5】（2017河池中考）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（　　　）

A．3B．4C．8D．9

【解析】设BD＝x，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定义得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．

【答案】C

【例6】（2017海南中考）已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　　）

A．3条B．4条C．5条D．6条

【解析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．

【答案】B

【例7】（2017株洲中考）如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.L.Crelle1780—1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡

（Brocard1845—1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：

已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ＋FQ＝（　　　）

A．5B．4C．3＋D．2＋

【解析】如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF＝90°，DE＝DF，∠1＝∠2＝∠3，

∵∠1＋∠QEF＝∠3＋∠DFQ＝45°，∴∠QEF＝∠DFQ.∵∠2＝∠3，∴△DQF∽△FQE，∴＝＝＝.∵DQ＝1，∴FQ＝，EQ＝2，∴EQ＋FQ＝2＋.

【答案】D

课内重难点真题精练及解题方法总结）

1．（辽宁丹东）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为（　B　）

A．8B．10C．12D．14

2．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（　C　）

A.B.

C.D．不能确定

【方法总结】考查勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力．作出图形，根据三角形面积公式，利用等面积法即可找出点P到三边的距离之和与一边的高的关系；然后根据等边三角形的性质求出高的长，问题即可得解．

3．（2017张家界中考）在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．

解：

（1）连接OD.

∵AC＝BC，OB＝OD，

∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，

∴∠A＝∠ODB，

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD.

∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

（2）∵AC＝BC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.

∵OD＝OB，

∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°.

∵DF⊥OD，∴∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，

∴OG＝2OD＝2×6＝12，

∴DG＝OD＝6，

∴S阴影＝S△ODG－S扇形OBD＝×6×6－

＝18－6π.

【方法总结】解该类题时，一般想办法把阴影部分转化到规则图形中，再利用面积的和差关系求得．