高考理科数学二轮选择题的创新解题方法13页.docx
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高考理科数学二轮选择题的创新解题方法13页
高考理科数学二轮选择题的创新解题方法
「题型特点解读」 选择题在高考中题目数量多，占分比例高，概括性强，知识覆盖面广，注重多个知识点的小型综合．我们在解题时要充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，选最简解法，以准确、迅速为宗旨，绝不能“小题大做”．
方法1直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．
例1
（1）（2019·开封市高三第三次模拟）空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图：
给出下列四个结论：
①该地区在该月2日空气质量最好；②该地区在该月24日空气质量最差；③该地区从该月7日到12日AQI持续增大；④该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①②B．①②③
C．①②④D．③④
答案 B
解析 对于①，由于2日的空气质量指数AQI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以正确；对于②，由于24日的空气质量指数AQI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以正确；对于③，从折线图上看，该地区从该月7日到12日AQI持续增大，所以正确；对于④，从折线图上看，该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关，所以错误．故选B.
（2）（2019·洛阳市高三第三次统一考试）若m，n，p∈（0，1），且log3m＝log5n＝lgp，则（ ）
答案 A
解析 设log3m＝log5n＝lgp＝a（a<0），所以m＝3a，n＝5a，
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法
直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：
在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些现成结论的使用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质等．
1．（2019·北京丰台区高三上学期期末）过双曲线
－
＝1（a>0，b>0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|＝
|OF|，则此双曲线的离心率为（ ）
A.
B．
C．2D．
答案 C
解析 在Rt△OAF中，tan∠AOF＝
，所以cos∠AOF＝
＝
，且|OF|＝c，所以|OA|＝a.根据题意有a＝
c，即离心率
＝2.
2．（2019·西安市高三第三次质检）将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为（ ）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
答案 B
解析 如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，则ON∥
CD，MN∥
AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，BO⊥AC，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，OB＝OD＝
，所以BD＝2，则OM＝
BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，故∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.
方法2排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．
例2
（1）（2019·南宁模拟）设函数f（x）＝
若f（x0）＞3，则x0的取值范围为（ ）
A．（－∞，0）∪（2，＋∞）
B．（0,2）
C．（－∞，－1）∪（3，＋∞）
D．（－1,3）
答案 C
解析 取x0＝1，则f
（1）＝
＋1＝
＜3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f（3）＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.
（2）已知函数f（x）＝
的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 依题意x≠－c，故－c>0，则c<0，排除B；f（0）＝
>0，故b>0，排除D；当x→＋∞时，f（x）<0，则a<0，排除A.综上所述，故选C.
排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况
（1）当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定．
（2）再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择．
1．已知向量a＝（－2，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A.
∪（2，＋∞） B．（2，＋∞）
C.
D.
答案 A
解析 解法一：
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，且a与b不反向，所以－2λ－1<0且λ≠2，解得λ∈
∪（2，＋∞）．
解法二：
因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝2时，a与b的夹角为π，排除C，故选A.
2．函数f（x）＝
的图象大致是（ ）
答案 D
解析 由函数的解析式得，函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝
＝f（x），故函数f（x）在定义域内是偶函数．当x＝±1时，f（x）＝0，当x∈（0,1）∪（－1,0）时，f（x）<0，可排除B，C；当x→0时，f（x）→0，排除A，选D.
方法3特值法
从题干（或选项）出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：
特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．
例3
（1）设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．3y＜2x＜5zB．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2xD．5z＜2x＜3y
答案 A
解析 取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.
（2）（2019·蚌埠高三下学期第二次质检）函数y＝
，x∈（－π，π）的图象大致为（ ）
答案 D
解析 设y＝f（x）＝
，则f（－x）＝－
＝－f（x），又f（x）的定义域关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A.由f
＝
＝
>0，排除B.由f
＝
＝
>0，排除C，故选D.
在题设条件成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而可清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解高考数学选择题的最佳策略．
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是（ ）
A．a＋c＞2bB．a＋c＜2b
C．a＋c≥2bD．a＋c≤2b
答案 D
解析 不妨令A＝B＝C＝60°，则可排除A，B；再令A＝30°，B＝60°，C＝90°，可排除C，故选D.
2．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则
，
，
的大小关系不可能是（ ）
A.
＜
＜
B．
＜
＜
C.
＝
＝
D．
＜
＜
答案 B
解析 取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知
＝
＝
，此时C正确．取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知
<
<
，此时A正确．取x＝
，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝
，z＝
，此时易知
<
<
，此时D正确．综上，利用排除法可知选B.
方法4数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．
例4
（1）已知动点P在椭圆
＋
＝1上，若点A的坐标为（3,0），点M满足|
|＝1，
·
＝0，则|
|的最小值是（ ）
A.
B．
C．2
D．3
答案 C
解析 由|
|＝1可知点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则
·
＝0，|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以要使|
|取得最小值，需使|
|取得最小值，而|
|的最小值为6－3＝3，此时|
|＝2
，故选C.
（2）（2019·西安市高三第三次质量检测）若定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x）且x∈[－1,1]时，f（x）＝|x|，则方程f（x）＝log3|x|的根的个数是（ ）
A．4B．5
C．6D．7
答案 A
解析 因为函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）是周期为2的周期函数．
又x∈[－1,1]时，f（x）＝|x|，所以函数f（x）的图象如图所示．
再作出y＝log3|x|的图象，易得两函数图象有4个交点，所以方程f（x）＝log3|x|有4个根．故选A.
利用数形结合思想解决最值问题的一般思路
利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题．
（1）对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．
（2）对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．
1．（2019·开封市高三第三次模拟）已知a＝2ln3，b＝3ln2，c＝
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>a>bD．c>b>a
答案 C
解析 由题意得a＝ln9，b＝ln8，∴a>b.c－a＝
－2ln3＝2
＝2·
，设f（x）＝x－elnx，
∴f′（x）＝1－
，令f′（x）＝0，得x＝e，故f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f（e）＝0，又x→0和x→＋∞时，f（x）→＋∞，作出f（x）的大致图象如图所示．故当x>e时，f（x）>0，∵3>e，∴f（3）>0，即3－eln3>0，
∴c－a＞0，即c＞a.故c＞a＞b.故选C.
2．过点（
，0）引直线l与曲线y＝
相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A.
B．－
C．±
D．－
答案 B
解析 根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝
，即x2＋y2＝1（y≥0），直线l与x2＋y2＝1（y≥0）交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝
sin∠AOB≤
，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝
，点O到直线l的距离为
，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－
.
方法5估算法
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
例5
（1）如图，在多面体AB
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