分式的运算教案.docx
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分式的运算教案
分式的运算
一、旧知识复习
（一）；；
（二），；
（三），；
（四），
（五）
（1）am×an=（m、n都是正整数）；
（2）（m、n都是正整数）；
（3）（ab）n=（m,n都是正整数）；（4）（，均为正整数，且）；
（5）
二、核心知识点
知识点一：
分式的乘法法则
与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
符号表示：
．
要点诠释：
（1）分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。
（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不
变，当然能约分的要约分。
知识点二：
分式的除法法则
与分数的除法法则类似，我们得到分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
符号表示：
．
要点诠释：
（1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：
把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式
相乘，其它与乘法运算步骤相同。
（2）当分子与分母都是多项式时：
运算步骤是：
①把各个分式的分子与分母分解因式；
②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；
③约分，得到计算结果.
知识点三：
分式的乘方
几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。
法则：
分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。
符号表示：
（为正整数）。
要点诠释：
（1）分式的乘方，必须把分式加上括号。
（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先
分解因式，再约分。
知识点四：
分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
符号表示：
，．
要点诠释：
（1）同分母分式相加减时应注意：
①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。
②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分
式或整式。
（2）异分母分式相加减时应注意：
①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；
②通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分
子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。
识点五：
整数指数幂运算性质
（1）（m，n是整数）；
（2）（m，n是整数）；
（3）（n是整数）；（4）（≠0，m，n是整数，）；
（5）（n是整数，b≠0）； （6）（a≠0，n是正整数）；
特别地，当a≠0时，a0=1．
知识点六：
分式的混合运算
分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
规律方法指导
1．明确运算顺序是正确进行分式恒等变形的前提．如果在运算过程中能灵活运用“结合律”、“分配
律”以及去（添）括号法则等手段往往能够使问题变得简单．
2．根据所给条件化简分式是分式运算的深化和延续.其方法经常是根据等式性质对所给条件实行变化，
转化成所需要的形式，根据整式和分式运算法则对式子实行恒等变形，并在变形过程中把条件代入
进去，以达到化简或求值的目的．
3．因式分解是整式也是分式恒等变形中非常重要、经常要用到的数学方法.在今后的学习中也要用到因
式分解，所以必须引起重视．
三、典型题
类型一：
分式的乘除运算
例1．计算：
（1）；
（2）．
思路点拨：
应用乘除法的法则进行运算．如果有乘方运算，先进行乘方运算，然后将除法变为乘法；分子、分母能因式分解的先因式分解；能够约分的要进行约分，注意符号的变化．
解析：
（1）
．
（2）
．
总结升华：
（1）对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行；
（2）运算中出现整式时，若是乘积运算，只须将它与其它分式的分子相乘；当它是除式时，则只取它
本身的倒数，再与其它分式相乘；
（3）注意，第
（2）题千万别错写成的形式；
（4）计算的结果，如果可能，尽量不让分式前边带有负号，如
（1）题．
【变式1】计算：
（1）；
（2）．
【答案】
（1）；
（2）
．
【变式2】计算：
【答案】
.
【变式3】计算并说出每一步的算理。
思路点拨：
分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
解析：
=（先把除法统一成乘法运算）
=（判断运算的符号）
=（约分到最简分式）
类型二：
分式的加减运算
例2．计算：
（1）；
（2）；（3）
思路点拨:
（1）应用加减法的法则进行运算．异分母分式做加减运算前先通分，通分前如果分母可以因式分解要
先进行因式分解．
（2）第一小题分母相同，根据法则直接计算；第二小题的最简公分母为（x＋y）（x－y）；第三小题
的后两项－a－2＝－．
解析：
（1）
（2）
（3）
总结升华：
（1）异分母分式相加减步骤如下：
分母能分解因式的分解因式，确定最简公分母，通分，同分母分式
加减，化成最简形式．
（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子，然后与分式进行通分，再计算．
（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分式分子、分母不用加括号，只要几个分式统一成一个分
式时，原来隐藏的括号全要写出来．
【变式】
（1）；
（2）；
【答案】分析：
（1）整式与分式的加减运算就如同整数与分数的加减运算，需把整式看成分母为1的形式与分式通分．
（1）原式．
分析：
（2）虽分母不完全相同，但只有符号差别，把第二项提个负号便可转化为同分母分式运算．
（2）原式．
例3．先化简，再求值：
，其中。
思路点拨：
将各式的分子、分母分解因式，约分后再计算。
解析：
原式
当a=3时，原式
总结升华：
当分式的分子、分母有公因式时，应先约分，再通分，可化繁为简。
类型三：
分式的混合运算
例4．计算：
（1）；
（2）
思路点拨：
（1）式中有乘方、除法运算，应先算乘方，再算除法；
（2）式中有分式的加法、除法运算，应先算除法，后算加法.
解析：
（1） 。
（2）
。
总结升华：
分式的混合运算，要特别注意运算顺序及符号的处理；式中有括号，应先算括号里面的。
【变式】计算：
【答案】
类型四：
化简求值类型题
例5．先化简，再求值.
思路点拨：
分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些．
解析：
总结升华：
分式混合运算法则口诀：
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找 出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简．
【变式1】计算：
，并求时原式的值。
【答案】=
=
当时，原式==1
【变式2】按下列程序计算：
（1）填表．
输入n
3
…
输出答案
1
1
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简．
【答案】第
（1）题较容易，只要按程序所提供的运算方法和顺序进行计算，就能得到正确的答案．有 趣的是，尽管输入的n不同，但输出答案均是1．进而可以猜想第
（2）题的所列代数式化简后的结果应 是1．
（1）均填1
（2）
例6．已知，求的值．
思路点拨：
化简求值、整体代入
解析：
= =
= ，
原式=1．
【变式1】先化简，再求值：
，其中a满足．
【答案】原式
因
【变式2】小玲遇到一道题：
“先化简，再求的值，其中．”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的．请你解释这是怎么回事．
【答案】把“”错抄成了“”，计算结果也正确，其原因可能是原式化简的结果为常数或是x偶次方的代数式．应该先化简，再仔细观察．
因为
且或时，x2的值均为3，原式的计算结果都为7，
所以把“”错抄成了“”，计算结果也是正确的．
类型五：
比较复杂的分式加减法
例7.
思路点拨：
可以前两项先通分加起来，再跟第3项相加，所得结果再跟第4项做和．
解析：
原式．
例8．计算：
。
思路点拨:
当分式中的因式互为相反数时，可先换元，再通分，可化繁为简。
解析：
设，则
原式
【变式1】计算
【答案】原式＝
＝＝
【变式2】计算
【答案】原式＝
＝ ＝0
类型六：
对称分式或接近对称分式的加减运算
例9．计算
思路点拨：
应用加减法的法则进行运算，观察每一个分式的特点以及整个分式的特点，寻找最简单的解题途径．
解析：
原式＝
＝＝
＝
总结升华：
当分子的次数达到或超过分母时，将分式化为整式与最简分式的和，可以降低难度．
【变式】计算：
++
【答案】原式=++
=-+-+-=0
类型七：
分式的拆分
例10．观察下面的变形规律：
＝1－；＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝________________；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
＋＋＋…＋.
思路点拨：
本题可巧用分式减法的逆运算，将分式进行拆项、合并。
解析：
（1）
（2）证明：
－＝－＝＝.
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝.
总结升华：
把分式拆项相消后，会减少项数，使通分运算更简便。
【变式】计算：
++……+
思路点拨：
应用加减法的法则进行运算，有些分式可以拆分，如=达到简化运算的目的．
解析：
原式=-+-+……+- =-=
总结升华：
如果分式分母中的两个因式相差为1，逆用分式减法法则拆项．即表示为：
=-．
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