分式的运算教案.docx

1、分式的运算教案 分式的运算一、旧知识复习（一）； ；（二）， ；（三）， ；（四）， （五）（1）aman= （m、n都是正整数）； （2） （m、n都是正整数）；（3）(ab)n = (m, n都是正整数)； （4） (，均为正整数，且)；（5） 二、核心知识点知识点一：分式的乘法法则与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母符号表示：要点诠释： （1）分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不 变，当

2、然能约分的要约分。知识点二：分式的除法法则与分数的除法法则类似，我们得到分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘符号表示：要点诠释： （1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式 相乘，其它与乘法运算步骤相同。（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是： 把各个分式的分子与分母分解因式； 把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘； 约分，得到计算结果.知识点三：分式的乘方几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。符号表示： （为正整数）。要点诠释： （1）分式的乘方，必

3、须把分式加上括号。（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先 分解因式，再约分。知识点四：分式的加减法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减符号表示： ，要点诠释：（1）同分母分式相加减时应注意： 当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。 分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分 式或整式。 （2）异分母分式相加减时应注意： 把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等； 通分的根

4、据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分 子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。 识点五：整数指数幂运算性质（1） （m，n是整数)；（2） （m，n是整数）；（3） （n是整数）； （4）（0，m，n是整数，）；（5）（n是整数，b0）； （6）（a0，n是正整数）； 特别地，当 a0时，a0=1知识点六：分式的混合运算分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。规律方法指导1明确运算顺序是正确进行分式恒等变形的前提如果在运算过程中能灵活运用“结合律”、“分配 律”

5、以及去（添）括号法则等手段往往能够使问题变得简单 2根据所给条件化简分式是分式运算的深化和延续.其方法经常是根据等式性质对所给条件实行变化， 转化成所需要的形式，根据整式和分式运算法则对式子实行恒等变形，并在变形过程中把条件代入 进去，以达到化简或求值的目的3因式分解是整式也是分式恒等变形中非常重要、经常要用到的数学方法.在今后的学习中也要用到因 式分解，所以必须引起重视三、典型题类型一：分式的乘除运算例1计算： （1）；（2）思路点拨：应用乘除法的法则进行运算如果有乘方运算，先进行乘方运算，然后将除法变为乘法；分子、分母能因式分解的先因式分解；能够约分的要进行约分，注意符号的变化解析：（1）

6、（2） 总结升华：（1）对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行；（2）运算中出现整式时，若是乘积运算，只须将它与其它分式的分子相乘；当它是除式时，则只取它 本身的倒数，再与其它分式相乘；（3）注意，第（2）题千万别错写成的形式；（4）计算的结果，如果可能，尽量不让分式前边带有负号，如（1）题【变式1】计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2） 【变式2】计算：【答案】 .【变式3】计算并说出每一步的算理。思路点拨：分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的. 解析： = (先把除法统一成乘法运

7、算) = （判断运算的符号） = （约分到最简分式）类型二：分式的加减运算例2计算： （1）；（2）；（3）思路点拨:（1）应用加减法的法则进行运算异分母分式做加减运算前先通分，通分前如果分母可以因式分解要 先进行因式分解（2）第一小题分母相同，根据法则直接计算；第二小题的最简公分母为（xy）（xy）；第三小题 的后两项a2解析：（1）（2） （3） 总结升华：（1）异分母分式相加减步骤如下：分母能分解因式的分解因式，确定最简公分母，通分，同分母分式 加减，化成最简形式（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子，然后与分式进行通分，再计算（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分

8、式分子、分母不用加括号，只要几个分式统一成一个分 式时，原来隐藏的括号全要写出来【变式】（1）； （2）；【答案】分析：（1）整式与分式的加减运算就如同整数与分数的加减运算，需把整式看成分母为1的形式与分式通分（1）原式分析：（2）虽分母不完全相同，但只有符号差别，把第二项提个负号便可转化为同分母分式运算（2）原式 例3先化简，再求值：，其中。思路点拨：将各式的分子、分母分解因式，约分后再计算。解析：原式 当a=3时，原式总结升华：当分式的分子、分母有公因式时，应先约分，再通分，可化繁为简。类型三：分式的混合运算例4计算：（1）；（2）思路点拨：（1）式中有乘方、除法运算，应先算乘方，再算除法

9、；（2）式中有分式的加法、除法运算，应先算除法，后算加法.解析：（1） 。（2） 。总结升华：分式的混合运算，要特别注意运算顺序及符号的处理；式中有括号，应先算括号里面的。【变式】计算：【答案】 类型四：化简求值类型题例5先化简，再求值. 思路点拨：分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些解析：总结升华：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变

10、号必须两处，结果要求最简【变式1】计算：，并求时原式的值。【答案】= =当时，原式=1【变式2】按下列程序计算：（1）填表输入n3输出答案11（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简【答案】第（1）题较容易，只要按程序所提供的运算方法和顺序进行计算，就能得到正确的答案有趣的是，尽管输入的n不同，但输出答案均是1进而可以猜想第（2）题的所列代数式化简后的结果应是1（1）均填1（2）例6 已知，求的值 思路点拨：化简求值、整体代入解析：= ，原式=1【变式1】先化简，再求值：，其中a满足【答案】原式因【变式2】小玲遇到一道题：“先化简，再求的值，其中”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算

11、结果也是正确的请你解释这是怎么回事【答案】把“”错抄成了“”，计算结果也正确，其原因可能是原式化简的结果为常数或是x偶次方的代数式应该先化简，再仔细观察因为 且或时，x2的值均为3，原式的计算结果都为7，所以把“ ”错抄成了“”，计算结果也是正确的类型五：比较复杂的分式加减法例7. 思路点拨：可以前两项先通分加起来，再跟第3项相加，所得结果再跟第4项做和解析：原式例8计算：。思路点拨: 当分式中的因式互为相反数时，可先换元，再通分，可化繁为简。解析：设，则原式【变式1】计算 【答案】原式【变式2】计算 【答案】原式0类型六：对称分式或接近对称分式的加减运算例9计算 思路点拨：应用加减法的法则进

12、行运算，观察每一个分式的特点以及整个分式的特点，寻找最简单的解题途径解析：原式总结升华：当分子的次数达到或超过分母时，将分式化为整式与最简分式的和，可以降低难度【变式】计算： +【答案】原式=+=-+-+- = 0类型七：分式的拆分例10观察下面的变形规律： 1； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 _；（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .思路点拨：本题可巧用分式减法的逆运算，将分式进行拆项、合并。解析：（1）（2）证明：. （3）原式1 .总结升华：把分式拆项相消后，会减少项数，使通分运算更简便。【变式】计算：+ +思路点拨：应用加减法的法则进行运算，有些分式可以拆分，如=达到简化运算的目的解析：原式= -+-+ +-=-=总结升华：如果分式分母中的两个因式相差为1，逆用分式减法法则拆项即表示为：=-