公务员备考题型精解之排列组合习题.docx
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公务员备考题型精解之排列组合习题
排列组合
1、排列：
从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。
2、组合：
从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3、分步计数原理（也称乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。
那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
4、分类计数原理：
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
思路：
1．首先明确任务的意义
2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
题型一、排队（使用捆绑与插空思维）：
七个同学排成一横排照相：
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种
第一步先让六个人排好：
6*5*4*3*2*1=720
第二步：
让甲自由选择中间的空挡5个中的一个，共有5中选法
所以：
720*5=3600
（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？
第一步：
确定乙在哪个位置排头排尾选其一C2取1＝2
第二步：
剩下的6个人满足P原则P66＝720
总数是720×2＝1440
（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？
3120
“坐板凳”：
先让甲乙做好的方法有：
5+4+4++4+4+5=26
其他人：
排序坐：
5*4*3*2=120
26×120=3120
（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？
甲乙看成一个元素，排列6*5*4*3*2=720
甲乙相邻有两种选择，2
720*2=1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？
（2520）
一共是7个位置，甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。
根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.
先两件次品拿出来
再从98件中取出3件合格品
（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？
全部排列，然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的
题型二，挡板的使用
10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。
因而共C（9.7）=36种
题型三，错装信封
把n张信纸与n个已写好相应地址的信封任意打乱。
问：
所有信纸全都装错了信封的情况有多少种
N=1封2封3封4封5封6封（熟记前面6个）
012944256
公式为：
设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为
A．20种B．30种C．60种D．120种
某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务．问共有多少种不同的干部调配方案？
（14833）
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有[]
A．6种B．9种C．11种D．23种
有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家．回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子．问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？
（44）
题型三，圆周排列
圆周排列数为直线排列数/排列之个数，另，项链排列数就是环状排列数除以2
五对夫妇围圆桌而坐,试问男女相间坐的方法数为何?
先直线排列：
先让男的坐定5个位置：
5×4×3×2，女的再隔空插进去：
5×4×3×2
男女位置可以互换：
因此直线排列为：
5×4×3×2×5×4×3×2×2
圆周排列，再除以元素10,结果为2880
五对夫妇围圆桌而坐,试问每对夫妻相邻而坐的方法数为何?
先直线排列：
夫妻绑定：
2*2*2*2*2
5对夫妻5个元素全排列：
5*4*3*2
所以，圆周排列为：
5*4*3*2*2*2*2*2*2/5
五对夫妇共10人，围一圆桌而坐，求下列各条件的坐法有几种：
（1） 夫妇相邻且男女相间隔。
（2） 每对夫妇相对。
（1）5位先生先坐，有（5－1）!
＝4!
（种）坐法，
上述每种坐法中，5位太太只有2种坐法（都坐自己先生的左方或右方），
故共有4!
×2＝48（种）坐法
（2）解一、
先让一对夫妇入坐，坐法只有1种，再让其余4对夫妇入坐，有4!
种坐法
上述每种坐法中，其余4对夫妇的每对夫妇可互换位置，方法有24种
故共有1×4!
×24＝384（种）坐法
解二、先选1人入坐，对面的人就固定了，有1种，从8个人再选1人入坐，有8种，再从剩下的6人中选1人，有6种，接着从剩下的4人中选1人，有4种，最后从剩下的2人中选1人，有2种。
8*6*4*2=384种。
有8个不同颜色的珠子,全部串成一项圈,试问其方法数有多少种?
8个全排列，再除以（8*2）
其他具有代表意义的排列组合题目：
1、从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，
又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：
从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C（10,2）*2*2=180
2、在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
第一类：
A在第一垄，B有3种选择；
第二类：
A在第二垄，B有2种选择；
第三类：
A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换，共12种。
3、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
（A）240（B）180（C）120（D）60
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而
（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
4、身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6.2）*C（4.2）*C（2.2）=90种。
5、在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
第一类：
这两个人都去当钳工，C（5.2）*C（4.4）=10
第二类：
这两人有一个去当钳工，C（2.1）*C（5.3）*C（5.4）=100
第三类：
这两人都不去当钳工，C（5.4）*C（6.4）=75
因而共有185种。
6、现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：
抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
有0无9 6*4＝24
有9无06*6*2=72
有9有0 4*4*2=32
无9无0 4×6＝24
因此共有152种方法。
5*5*4*2-4*4*3=152
7、停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有P（9.8）种停车方法。
8、对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：
第五次测试的有C（4.1）种可能；
第二步：
前四次有一件正品有C（6.1）种可能。
第三步：
前四次有P（4.4）种可能。
C（4.1）*C（6.1）*P（4.4）
9、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。
另外没有命中的之间没有区别，不必计数。
即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P（5.2）.
10、上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。
又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴共C（6.3）=20种方法。
11、同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
三个相同的红球,有4個空，两个不同的白球，可以一個一個插，也可以2個一起插、P（4.2）+P（4.1）*2=20
12、女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：
首先不考虑男生的站位要求，共P（9.9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了P（5.5）次。
因而有P（9.9）/P（5.5）=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。
用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
（1）可组成多少个不同的四位数?
（2）可组成多少个不同的四位偶数?
（3）可组成多少个能被3整除的四位数?
（4）将
（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
（1）有P（6,4）-P（5,3）个。
（2）分为两类：
0在末位，则有p（5,3）种
0不在末位，则有c（2,1）c（4,1）p（4,2）种。
∴共p（5,3）+c（2,1）c（4,1）p（4,2）种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：
4×c（3,1）p（3,3）+p（4,4）=96种。
（4）将
（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
（类似的题目09年考过）
首位为1的有p（5,3）=60个。
前两位为20的有p（4,2）=12个。
前两位为21的有p（4,2）=12个。
因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。
13、不同的书
（1）分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
（2）分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
（4）甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
（5）分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
（1）分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
C（6.2）C（4.2）
（2）分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
C（6.2）C（4.2）/P（3.3）
（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
C（6.3）C（3.2）
（4）甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
C（6.3）C（3.2）
（5）分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
C（6.3）C（3.2）P（3.3）
分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况：
１.1非平均分组问题
在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.
【例１】把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.
（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.
（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.
解：
（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有
种不同的分组方法
（2）先从１２人中任选７人为一组有
种选法，再从余下５人中任选３人有
种选法，剩下的２人为一组，共有
种不同的方法.
【点评】由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第
（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.
易错点：
误把（１）的结果表示为
１.2平均分组问题
上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.
【例２】有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.
（２）平均分成三份.
解：
（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有
＝９０种分法.
（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有
∴
＝１５种不同的分法.
【点评】上面例子可以看出：
两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.
一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有
种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有
种分法.
易错点：
错把（１）的结论写为
错把（２）的结论写为
１.3局部平均分组问题
某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.
【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？
解析：
我们先来研究：
“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.
如果这４个球各不相同，则有
种排法，由于白球和红球各有
种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有
种，下面来解决上述问题.
（１）可按下面步骤完成：
先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有
种.
（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为
种.
【点评】两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有
种分配方法，然后把它分给４个人.
在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：
把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？
该问题的分法有
种分法.
易错点：
误把（２）中的结论表示为
.
因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：
①分配对象是否明确（组名是否给出）？
②是否平均分配？
③是否局部平均分配？
④分配中有无顺序关系？
２.挡板模型与分组问题
挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.
【例４】５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
错解：
把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：
０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有
＝６种不同的方法.
错因：
５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：
把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？
５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.
正解：
先把５位老师分成三堆，有两类：
１、１、３和１、2、2分别有
和
种，再分到三个班里，共有
＝１５０种.
【点评】类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.
3.挡板模型与双排问题
在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
【例５】从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
错解：
选把１０个指标排好，插入９块挡块：
０|０|０|０|０|０|０|０|０|０
然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有
＝１２６种分法.
错因：
问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班…
正解：
因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有
种排法.
但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有
＝１００１种不同分法（或
）.
【点评】当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.
两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的公考中时有出现，应予以重视.
将“PROBABILITY”11个字母排成一列，排列数有______种，若保持P,R,O次序，则排列数有______种。
（1）我们首先把相同元素找出来,B有2个,I有2个我们先看作都是不同的11个元素全排列这样就简单的多是P11,11然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可P11/（P2,2*P2,2）=9979200。
（2）第2个小问题因要保持PRO的顺序，就将PRO视为相同元素（跟B，I类似的性质），则其排列数有11！
/（2！
×2！
×3！
）=166320种。
在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位，有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1方法，由乘法原理得：
所有不同的添加方法为9*10*11=990种。
0，1，2，3，4，5五个数字能组成多少个被25整除的四位数？
[解析]这里考察了一个常识性的问题即什么样数才能被25整除即这个数的后2位必须是25或者50，或者75或者00方可.
后两位是25的情况有:
千位只有3个数字可选（0不能）百位也是3个可选即3*3=9种
后两位是50的情况有:
剩下的4个数字进行选2位排列P4,2=12种
75不可能，因为数字中没有7
00也不可能，因为数字不能重复
共计9+12=21种
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