公务员备考题型精解之排列组合习题.docx

1、公务员备考题型精解之排列组合习题排列组合1、排列：从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法。4、分类计数原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的

2、方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+ mn种不同的方法。思路：1首先明确任务的意义 2注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 3特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑题型一、排队（使用捆绑与插空思维）：七个同学排成一横排照相：（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种第一步先让六个人排好：6*5*4*3*2*1=720 第二步：让甲自由选择中间的空挡5个中的一个，共有5中选法所以：720*5=3600 （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取12 第二步：剩下的6个人满足P原则 P66720 总数

3、是 72021440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？3120“坐板凳”：先让甲乙做好的方法有：5+4+4+4+4+5=26其他人：排序坐：5*4*3*2=12026120 = 3120（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ 甲乙看成一个元素，排列 6*5*4*3*2=720甲乙相邻有两种选择，2720*2=1440（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） 一共是7个位置，甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是504022520 5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件

4、进行检查. 先两件次品拿出来再从98件中取出3件合格品 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ 全部排列，然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的 题型二，挡板的使用 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9.7)=36种题型三，错装信封把n张信纸与n个已写好相应地址的信封任意打乱。问：所有信纸全都装错了信封的情况有多少种N= 1封 2封 3封 4封 5封 6封（熟记前面6个）0 1 2 9 44 256公式为：设有编号为1，

5、2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为A20种 B30种 C60种 D120种某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务问共有多少种不同的干部调配方案？（14833）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡则四张贺年卡的不同分配方式有 A6种 B9种 C11种 D23种有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家回家后，他们的妻子都发现他们戴了

6、别人的帽子问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）题型三，圆周排列圆周排列数为直线排列数/排列之个数，另，项链排列数就是环状排列数除以2五对夫妇围圆桌而坐, 试问男女相间坐的方法数为何? 先直线排列：先让男的坐定5个位置：5432，女的再隔空插进去：5432男女位置可以互换：因此直线排列为：543254322圆周排列，再除以元素10,结果为2880五对夫妇围圆桌而坐, 试问每对夫妻相邻而坐的方法数为何? 先直线排列：夫妻绑定：2*2*2*2*2 5对夫妻5个元素全排列：5*4*3*2所以，圆周排列为：5*4*3*2*2*2*2*2*2/5五对夫妇共10人，围一圆桌而坐，求下列各条件的坐

7、法有几种： (1)夫妇相邻且男女相间隔。(2)每对夫妇相对。 (1)5位先生先坐，有 ( 51 ) !4! ( 种 ) 坐法，上述每种坐法中，5位太太只有2种坐法 ( 都坐自己先生的左方或右方 )，故共有4!248 ( 种 ) 坐法(2)解一、 先让一对夫妇入坐，坐法只有1种，再让其余4对夫妇入坐，有4! 种坐法 上述每种坐法中，其余4对夫妇的每对夫妇可互换位置，方法有24种故共有14!24384 ( 种 ) 坐法解二、先选1人入坐，对面的人就固定了，有1种，从8个人再选1人入坐，有8种，再从剩下的6人中选1人，有6种，接着从剩下的4人中选1人，有4种，最后从剩下的2人中选1人，有2种。8*6

8、*4*2=384种。有8个不同颜色的珠子, 全部串成一项圈, 试问其方法数有多少种? 8个全排列，再除以（8*2）其他具有代表意义的排列组合题目：1、 从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。 设a,b,c成等差， 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又 2b是偶数， a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，19或2，4，6，8，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C(10,2)*2*2=1802、 在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6

9、垄，不同的选法共有_种。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有1种选择， 同理A、B位置互换 ，共12种。3、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 （一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。4、身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的

10、人个子矮，则所有不同的排法种数为_。每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=90种。5、在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 第一类：这两个人都去当钳工，C(5.2)*C(4.4)=10第二类：这两人有一个去当钳工， C(2.1)*C(5.3)*C(5.4)=100第三类：这两人都不去当钳工， C(5.4)*C(6.4)=75因而共有185种。 6、现有印着0，l，3，5，7，9

11、的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析：抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。有0无96*424有9无0 6*6*2=72有9有04*4*2=32无9无04624因此共有152种方法。5*5*4*2-4*4*3=1527、停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是_种。把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有P(9.8)种停车方法。 8、对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可

12、能? 本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；第二步：前四次有一件正品有C(6.1)种可能。 第三步：前四次有P(4.4)种可能。 C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)9、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P(5.2).10、上有编号为l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不

13、能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种? 即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。 共C(6.3)=20种方法。 11、同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法? 三个相同的红球,有4個空，两个不同的白球， 可以一個一個插，也可以2個一起插、P(4.2)+P(4.1)*2=2012、女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? 分析：首先不考虑男生的站位要求，共P(9.9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法

14、，因而上述站法重复了P(5.5)次。因而有P(9.9)/P(5.5)=9876=3024种。 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数， (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数? (3)可组成多少个能被3整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么? （1）有P(6,4)-P(5,3)个。（2）分为两类：0在末位，则有p(5,3)种0不在末位，则有c(2,1)c(4,1)p(4,2)种。 共p(5,3)+c(2,1)c(4,1

15、)p(4,2)种。（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4c(3,1)p(3,3)+p(4,4)=96种。 （4）将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么? （类似的题目09年考过）首位为1的有p(5,3)=60个。 前两位为20的有p(4,2)=12个。 前两位为21的有p(4,2)=12个。 因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。13、不同的书 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?(2) 分成

16、三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? C(6.2)C(4.2)(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ C(6.2)C(4.2)/P(3.3)(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ C(6.3)C(3.2)(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.2)(5) 分给甲乙丙三

17、人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.2)P(3.3)分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况：.1 非平均分组问题在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.【例】 把个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.（）分成甲、乙、丙三组，其中甲组人、乙组个、丙组人.（）分成三组，其中一组人、一组人、一组人.解： （）先从人中任选人为甲组，余下人中任选人为乙组，剩下人为丙组，则共有种不同的分组方法（2）先从人中任选人为一组有种选法，再从余下人中任选人有种选法，剩下的人为一组，共有种不同的方法.【点评】 由于各组人数不

18、同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.易错点：误把（）的结果表示为.2 平均分组问题上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.【例】 有本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？（）分给甲、乙、丙三人，每人两本.（）平均分成三份.解： （）从本书中任取本给一个人，再从剩下的本中取本给另一个人，剩下的本给最后一人，共有种分法.（）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得本，则应有

19、 种不同的分法.【点评】 上面例子可以看出：两个问题都是分成堆，每堆本，属于平均分组问题，而（）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（）没有给出组名，因而结果是不同的.一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有种分法.易错点：错把（）的结论写为错把（）的结论写为.3 局部平均分组问题某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.【例】 （）把本不同的书分给人，两人各得本，另外两人各得本，有几种分法？（）把本不同

20、的书分成份，两份各本，两份各本，有几种分法？解析： 我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.如果这个球各不相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有种，下面来解决上述问题.（）可按下面步骤完成：先将本书分成本、本、本、本个部分，然后让四个人去全排列取书，即有种.（）先把本书分成本、本、本、本的堆，由于两个本与两个本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为种.【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（）中指定分给了个人，相当于指定了组名，而（）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（）中相当于把本书分成两份

21、本，两份本，共有种分配方法，然后把它分给个人.在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把本不同的书分成、四堆，其中、各本，、各本，则有几种分法？该问题的分法有种分法.易错点：误把（）中的结论表示为.因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：分配对象是否明确（组名是否给出）？是否平均分配？是否局部平均分配？分配中有无顺序关系？. 挡板模型与分组问题挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.【例】 个教师分配到个班参加活动，每班至少人，有几种不同的分法？错解： 把个老师排成一排，中间投入

22、四块挡板：|，只要在块挡板中任取块，一共有种不同的方法.错因： 个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把个名额分配给个班，每班至少有人.问有几种不同的分法？个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.正解：先把位老师分成三堆，有两类：、和、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有种.【点评】 类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.3. 挡板模型与双排问题在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.【例】 从个班中选人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？错解： 选把

23、个指标排好，插入块挡块：|然后在块挡板中任取块即可分成份，有种分法.错因： 问题并没有给出“每班至少人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有人参加.事实上，这个名额可给一个班，也可给两个班正解：因为把个指标分成个部分，只须块挡板，称为第一类元素，个指标为第二类元素，共个元素.当这些元素都有区别时共有种排法.但个指标，块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有种不同分法（或）.【点评】 当分组数超过个时，若没有给出“每组至少有个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质

24、上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的公考中时有出现，应予以重视.将“PROBABILITY ”11个字母排成一列，排列数有_种，若保持P, R, O次序，则排列数有_种。 (1)我们首先把相同元素找出来,B有2个, I 有2个 我们先看作都是不同的11个元素全排列 这样就简单的多是P11,11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 (2)第2个小问题 因要保持PRO的顺序，就将PRO视为相同元素（跟B，I类似的性质），则其排列数有11！/（2！2！3！）= 166320种。 在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再

25、增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位，有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*10*11=990种。 0，1，2，3，4，5五个数字能组成多少个被25整除的四位数？ 解析 这里考察了一个常识性的问题 即 什么样数才能被25整除 即这个数的后2位必须是25或者50，或者75或者00 方可. 后两位是25的情况有:千位只有3个数字可选(0不能) 百位也是3个可选 即3*3=9种 后两位是50的情况有:剩下的4个数字进行选2位排列 P4,2=12种 75不可能，因为数字中没有7 00也不可能，因为数字不能重复共计 9+12=21种