中考数学专题训练圆的综合的综合题分类附详细答案.docx

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中考数学专题训练圆的综合的综合题分类附详细答案

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附详细答案

一、圆的综合

1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．

（1）求证：

AC∥OD；

（2）如果DE⊥BC，求

的长度．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）2π．

【解析】

试题分析：

（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；

（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：

∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．

试题解析：

（1）证明：

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；

（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=

=2π．

点睛：

本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过

上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：

∠G=∠CEF；

（2）求证：

EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=

，AH=3

，求EM的值．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；（3）

.

【解析】

试题分析：

（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出

，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；

（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得

，由此即可解决问题；

试题解析：

（1）证明：

如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴

，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：

如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：

如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=

=

，∵AH=

，∴HC=

，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣

，HC=

，∴

，∴r=

，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴

，∴

，∴EM=

．

点睛：

本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

3．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.

（1）求证：

AE=BF；

（2）连接EF，求证：

∠FEB=∠GDA；

（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.

【答案】

（1）

（2）见解析；（3）9

【解析】

分析：

（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=

AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；

（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．

详解：

（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=

AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD．

∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．

∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，

，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；

（2）连接EF，BG．

∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．

∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．

∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．

∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；

（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：

EF2=EB2+BF2．

∵EB=4，BF=2，∴EF=

=

．

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=

．

∵EF=

，∴DE=

×

=

．

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴

=

，即GE•ED=AE•EB，∴

•GE=8，即GE=

，则GD=GE+ED=

．

∴

．

点睛：

本题属于圆综合题，涉及的知识有：

全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．

4．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．

（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若半圆O的半径为6，求

的长．

【答案】

（1）直线CE与半圆O相切

（2）

【解析】

试题分析：

（1）结论：

DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；

（2）只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题．

试题解析：

（1）直线CE与半圆O相切，理由如下：

∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC.

∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC⊥DE，

∴直线CE与半圆O相切．

（2）由

（1）可知：

∠COF=60°，OC=OF，

∴△OCF是等边三角形，

∴∠AOC=120°

∴

的长为

=4π.

5．如图

的直径

是弦BC上一动点

与点

不重合

，过点P作

交

于点D．

如图2，当

时，求PD的长；

如图3，当

时，延长AB至点E，使

，连接DE．

求证：

DE是

的切线；

求PC的长．

【答案】

（1）

；

（2）

．

【解析】

分析：

根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出

的长；

首先得出

是等边三角形，进而得出

，求出答案即可；

首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．

详解：

如图2，连接OD，

，

，

的直径

，

，

在

中，

，

，

在

中，

；

证明：

如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

是

的切线；

由

知，

，

，

在

中，

，

直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半

，

．

点睛：

此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出

是等边三角形是解题关键．

6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

【答案】10cm

【解析】

分析：

先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．

详解：

解：

过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，

∵OC⊥AB

∴BD=

AB=

×16=8cm

由题意可知，CD=4cm

∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm

在Rt△BOD中，

由勾股定理得：

OD2+BD2=OB2

（x﹣4）2+82=x2

解得：

x=10．

答：

这个圆形截面的半径为10cm．

点睛：

此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．

7．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点．

（1）求证：

∠DAC=∠ACO+∠ABO；

（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：

EF=EB；

（3）在

（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；（3）AD=7．

【解析】

试题分析：

（1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是

中点，推出

，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；

（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；

（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题；

试题解析：

（1）如图1中，连接OA，

∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，

∵OA=OB，∴∠2=∠ABO，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，

∵点C是

中点，∴

，∴∠BAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．

（2）如图2中，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，∴∠BAD=∠BOC，

∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA，

∴∠EFB=∠EBF，∴EF=EB．

（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．

∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，

∵∠EFB=∠EBF，∴∠G=∠HOF，

∵∠HOF=∠EOG，∴∠G=∠EOG，∴EG=EO，

∵OH⊥AB，∴AB=2HB，

∵OE+EB=AB，∴GE+EB=2HB，∴GB=2HB，

∴cos∠GBA=

，∴∠GBA=60°，