第四讲均值方差组合边界.docx
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第四讲均值方差组合边界
第4讲均值-方差组合边界
4.1组合边界（前沿）
经济描述
可卖空；n种风险资产（n32）收益率是非共线性的（non-collinear），所以W=（Cov（R!
）,lRj）^n非退化，而且正定（因为si2=Cov（R%i,R%i）>0）；WT=W
暂设经济中不存在无风险资产
记号
投资组合w
期望收益率向量：
e=（m1,K,mn）T
n
组合的期望收益率：
mp=wTe=?
wimi
i=1
组合的方差：
NN
sp2=邋wiwjCov（R%i,R%j）=wTWw
j=1i=1
组合边界
若投资者具有二次效用函数，或者所有资产收益率都呈正态分布，投资者的期望效用函数可写为
V（ms2），满足
也＞0丄vO
抖m，s2
均衡中这种投资者的投资组合特征?
定义4.1:
给定收益率水平m,所有期望收益率为m的组合中方差最小者称为一个边界组合（frontierportfolio）；所有边界组合构成的集合称为组合边界,
记为PF;换言之,
边界组合为下面最小值问题的解:
min-wTWww2
s.t.wTe=m
求解w
拉格朗日函数
wT1）
1L=-wTWw+l（m-wTe）+g（1-
FOC解得边界组合：
w=I（W®+g（W〔1）
（4.3）
只要求出系数l和g即得解分别在上式两端左乘
eT和1T，联立得
B-Am
其中
A=1TW1e=eTW11B=eTW1e
2
D=BC-A
（4.5）
（4.6）
其中
0<（Ae-B1）tW-1（Ae-
B1）=B（BC-A2）=BD
故D>0
边界方程
B,C>0（因W正定），进一步:
根据解（4.3）,
s2=wTWW=wTW（lW〔e+gW-11）=lwTe+gwT1=1m+g
2
Cm-2Am+BC7A、21
==（m-）+—
DDCC
or:
（s2,m）平面的抛物线
s2（m-AC）2
花-
（s,m）平面的双曲线
4.2两基金分解定理
最小方差组合mvp
易知mvp在（s2,m）坐标系中的坐标为（A/C,1/C）,
求出相应的lmvp=0,gmvp=1/C,故
Wmvp
W1=W1C一1TW11
有效边界
{w|（4.3）w&e3
边界组合的分解
w=（lA）
W=e
1TW1e
+（gC）
1TW11
将w=l（W1e）+g（W11）标准化:
（4.11）
W-1eW-1e
Wd=?
We=~A
（4.12）则（4.11）变为
w=（lA）Wd+（gC）Wmvp
（4.13）
在（4.3）两端左乘1T:
1=1Tw=l（1TW-1e）+g（1TW/11）=lA+gC这说明由wd和wmvp可生成组合边界上的任意组合。
两基金分解定理
定理4.1（两基金分解）：
任何两个不同的边界组合wa和Wb均可生成整个组合边界。
即是说，对任何一个组合边界w*，都存在某个a，使得
w*=awa+（1-a）wb
（4.14）
【证明】对边界组合wa和wb，根据（4.13），存在a,b?
[0,1]，a1b，使得
wa=awd+（1-a）wmvp
wb=bwd+（1-b）wmvp
对任何一个边界组合
w*=（I*A）Wd+（g*C）wmvp
容易验证它还可以写为下面的形式：
*I*A-ba-I*A
w*=wa+wb
a-ba-b
4.3组合边界的其他性质
组合边界的凸性
推论4.1:
（1）组合边界是凸集：
如果Wt,K,wk是边
界组合，那么它们的凸组合：
kk
w=邋aiwi,ai?
[0,1],ai1
i=1i=1
也是一个边界组合；
（2）有效边界是凸集：
如果w“K,Wk是有效边界组合，
那么它们的凸组合：
kk
w=邋CiWi,Ci?
[0,1],Ci1
i=1i=1
也是一个有效边界组合。
利用组合方差的非线性性质解释组合边界曲线为凸集
与直觉并不矛盾
mvp与任意组合间的协方差
定理4.2:
任何一个资产组合P（可能是非边界组合）与最小方差组合间的协方差都是一个常数:
cov（RP,R%/p）=占
C
T1
证明：
cov（RP,R^vp）=WTWWmvp=W胃1
边界组合间的协方差
a）Wmvp+aWdWb=（1-b）wmvp+bWd
假设Wa和Wb是两个边界组合，由两基金分解定理，存在a,b，使得：
其中wd=w1e/A，
Sd=WdWWd
Wa=（1-
故
1T-1-1B
2（eWwwfe）=r
A2A2
因此
cov（R%,R%）=wJwwb
=（1-a）（1-b）s；vp+absd+[a（1-b）+b（1-a）]cov（
（1-a）（1-b）abBa+b-2ab
=+厂+
CA
1abD
=+
CCA2
（4.17）
还可证明，对于任意一个资产组合wP和边界组合wa,
COV（RP,R%）=W；WWa=匕旦+amP（作练习）
CA
4.4存在无风险资产时的组合边界
引入无风险资产对4.1节推导过程有哪些影响?
1.如果包含了无风险资产，协方差矩阵W必然是退化的，其逆矩阵不存在！
2.（w0,wT）T:
1Tw=1Tw0+1Tw=1，
3.相应地，组合的期望收益率变为
m=w0R+eTw=（1-1Tw）R+eTw=（e-R1）Tw+R
4.无风险资产投资机会不影响组合的收益方差wTWw！
边界组合问题
min-wTWw
（Wo,w）2
s.t.w0+1Tw=1
（e-R1）Tw=m-R
1TL=wWW-
2
l（w0+1Tw-1）-g[（e-R1）Tw-（m-R）]
由FOC解得
-1
w*=g*W（e-R1）
（4.23）
*T
w0=1-1w*
（4.24）
将（4.23）代入均值约束求出g:
m-R=g*（e-R1）'W1（e-R1）=g*（B-2RA+R2C）
（4.23）从而，最优组合的方差
s2=（w*）TWW*=g*2（e-R1）T^1WA^1（e-R1）
（m-R）2
=g*（m-R）=厂
B-2RA+R2C
（4.26）
（s2,m）坐标平面的抛物线
PFF:
m=R?
sJb2RA+R2C
（4.27）
（s,m）平面上的两条射线
向上的一条直线为有效组合边界，亦即投资学上的资
本市场线（CapitalMarketLine,CML）
4.5货币基金分解定理
切点组合（tangentportfolio）
由（4.23），个体对风险资产的最优投资比例为w*，将其规范化为一个只含风险资产的投资组合：
w*
1Tw
W、e-R1）=W^e-R1）
1TWYe-R1）=A-CR
|是一个PFF组合，因为它同时满足（4.23）
很显然，
其期望收益率和方差:
（4.28）
和（4.24）。
货币基金分解定理定理4.1：
在无风险资产存在的条件下，任意一个边
界组合都可以分解为无风险资产和切点组合（4.28）
的组合。
证明：
任意边界组合都可作以下的自然分解：
*骣*骣）亠w。
辭（1-w0）桫±
（4.31）
切点组合的几何意义
在（s,m）坐标平面上，如果由无风险资产所在的点
（0,R）向PF引一条切线，那么切点t恰好就是Wt所在
的坐标。
（R=AC/时的特殊情况？
）
要证明这一断言，我们需要证明两点：
（i）wt处于不包含无风险资产的组合边界PF上；（ii）曲线PF过Wt点的切线斜率恰好与Wt连接（0,R）点的直线斜率相同。
关于（i），需要验证（st2,mt）满足方程（4.8）或（4.9）。
这可以由前面计算的m和st2进行验证。
现在证明（ii）。
为求曲线PF过切点组合的斜率，
2
2Cm-2Am+B亠
在PF万程s2=中对s求导：
D
2Cm-2Adm
2s=
Dds
dm
ds
W=Wt
DSt21/2
t=（B-2AR+CR2）Cm-a
在wt取值：
（4.32）
另一万面，（0,R）和（s^m）两点间直线斜率为：
m-R
St
B-AR-AR+CR2'（B-2AR+CR2）1/2
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