第四讲均值方差组合边界.docx

1、第四讲均值方差组合边界第4 讲 均值 -方差组合边界4.1 组合边界(前沿)经济描述可卖空；n种风险资产(n 3 2)收益率是非共线性 的(non-collinear)，所以 W= (Cov( R!),lRj) n 非退化， 而且正定(因为 si2 = Cov(R%i, R%i ) 0)； WT=W暂设经济中不存在无风险资产记号投资组合 w期望收益率向量： e = (m1,K ,mn )Tn组合的期望收益率： mp = wTe= ? wimii=1组 合 的 方 差 ：NNsp2 = 邋 wiwjCov(R%i,R%j) = wTWwj= 1 i=1组合边界若投资者具有二次效用函数，或者所有资

2、产收益 率都呈正态分布，投资者的期望效用函数可写为V (m s2)，满足也0丄vO抖m ， s2均衡中这种投资者的投资组合特征?定义4.1 :给定收益率水平m,所有期望收益率为m的 组合中方差最小者称为一个边界组合(fron tier portfolio)；所有边界组合构成的集合称为 组合边界,记为PF;换言之,边界组合为下面最小值问题的解:min - wTWw w 2s.t. wT e = m求解w拉格朗日函数wT 1)1 L = - wTWw + l (m- wTe) + g(1 -FOC解得边界组合：w = I (W+ g(W 1)(4.3)只要求出系数l和g即得解 分别在上式两端左乘e

3、T和1T，联立得B - Am其中A = 1TW 1e = eTW 11 B = eTW1 e2D = BC - A(4.5)(4.6)其中0 0边界方程B,C 0(因W正定)，进一步:根据解(4.3),s2 = w TWW = wTW(l We + gW-11) = l wT e + g wT1 =1 m+ g2Cm - 2Am+ B C 7 A、2 1= = (m- ) + D D C Cor: (s2, m)平面的抛物线s2 (m- AC)2花-(s,m)平面的双曲线4.2两基金分解定理最小方差组合mvp易知mvp在(s2,m)坐标系中的坐标为(A/C,1/C),求出相应的lmvp= 0,

4、gmvp = 1/C ,故WmvpW 1 = W 1 C 一 1TW11有效边界w | ( 4. 3 )w& e3边界组合的分解w = (l A)W=e1TW1 e+ (gC)1TW11将w = l (W 1e) + g(W 11)标准化:(4.11)W-1 e W-1 eWd = ?We =A(4.12) 则(4.11)变为w = (l A)Wd + (gC)Wmvp(4.13)在(4.3)两端左乘1T :1 = 1Tw = l (1TW-1 e) + g( 1TW/11) = l A + gC 这说明由wd和wmvp可生成组合边界上的任意组合。 两基金分解定理定理4.1 （两基金分解）：任

5、何两个不同的边界组合 wa 和Wb均可生成整个组合边界。即是说，对任何一个组 合边界w *，都存在某个a，使得w* = awa + (1 - a)wb(4.14)【证明】对边界组合 wa和wb，根据(4.13)，存在 a,b?0,1，a 1 b，使得wa = awd + (1 - a)wmvpwb = bwd + (1 - b) w mvp对任何一个边界组合w* = (I * A)Wd + (g*C)wmvp容易验证它还可以写为下面的形式：* I *A-b a-I *Aw * = wa + w ba - b a - b4.3组合边界的其他性质组合边界的凸性推论4.1: ( 1 )组合边界是凸集

6、：如果 Wt,K ,wk是边界组合，那么它们的凸组合：k kw =邋aiwi, ai ? 0,1, ai 1i=1 i=1也是一个边界组合；(2)有效边界是凸集：如果w“K, Wk是有效边界组合，那么它们的凸组合：k kw =邋 CiW i, Ci? 0,1, Ci 1i= 1 i = 1也是一个有效边界组合。利用组合方差的非线性性质解释组合边界曲线为凸集与直觉并不矛盾mvp与任意组合间的协方差定理4.2 :任何一个资产组合P （可能是非边界组合） 与最小方差组合间的协方差都是一个常数:cov( RP, R%/p)=占CT 1证明：cov(RP, Rvp ) = WTWWmvp = W 胃 1

7、边界组合间的协方差a)Wmvp + aWd Wb = (1 - b)wmvp + bWd假设Wa和Wb是两个边界组合，由两基金分解定 理，存在a,b，使得：其中 wd = w1 e/A，Sd = WdWWdW a = （1-故1 T - 1 - 1 B2( eWwwfe)= rA2 A2因此cov(R%,R%) = wJww b=(1- a)(1 - b)s；vp + absd + a(1- b) + b(1 - a)cov(1 - a)(1 - b) abB a + b- 2ab= + 厂+C A1 abD= +C CA2(4.17)还可证明，对于任意一个资产组合 wP和边界组合wa,COV

8、(RP,R%)= W；WWa =匕旦+ amP (作练习)C A4.4存在无风险资产时的组合边界引入无风险资产对4.1节推导过程有哪些影响?1. 如果包含了无风险资产，协方差矩阵 W必然是 退化的，其逆矩阵不存在！2. (w0, wT)T : 1T w =1 T w0 + 1T w = 1，3. 相应地，组合的期望收益率变为m= w0R + eTw = (1 - 1Tw)R + eTw = (e- R 1)Tw + R4. 无风险资产投资机会不影响组合的收益方差 w TWw ！边界组合问题min - wTWw(Wo,w) 2s.t. w0 + 1T w = 1(e- R 1)Tw = m- R

9、1 T L = w WW -2l (w0 + 1Tw- 1)- g(e- R 1)T w- (m- R)由FOC解得-1w* = g * W (e - R1)(4.23)* Tw0 = 1 - 1 w *(4.24)将(4.23)代入均值约束求出g :m- R = g *( e- R1) W 1(e- R1) = g *( B - 2RA + R2C)(4.23) 从而，最优组合的方差s2 = (w*)TWW* = g *2 (e- R 1)T1WA 1(e- R1)(m- R)2=g * (m- R)= 厂B - 2RA + R2C(4.26) (s2, m)坐标平面的抛物线PFF: m=

10、R? s Jb 2RA + R2C(4.27) (s, m)平面上的两条射线向上的一条直线为有效组合边界，亦即投资学上的资本市场线(Capital Market Line, CML )4.5货币基金分解定理切点组合(tangent portfolio)由(4.23)，个体对风险资产的最优投资比例为 w *，将其规范化为一个只含风险资产的投资组合：w *1T wW、e- R1) = We- R1)1TWYe- R1) = A- CR|是一个PFF组合，因为它同时满足(4.23)很显然，其期望收益率和方差:(4.28)和(4.24)。货币基金分解定理 定理4.1：在无风险资产存在的条件下，任意一个

11、边界组合都可以分解为无风险资产和切点组合( 4.28)的组合。证明：任意边界组合都可作以下的自然分解：*骣 *骣)亠 w。辭(1- w0)桫 (4.31)切点组合的几何意义在(s,m)坐标平面上，如果由无风险资产所在的点(0, R)向PF引一条切线，那么切点t恰好就是Wt所在的坐标。(R =AC/时的特殊情况？)要证明这一断言，我们需要证明两点：(i) wt处 于不包含无风险资产的组合边界 PF上；(ii)曲线PF 过Wt点的切线斜率恰好与Wt连接(0, R)点的直线斜率 相同。关于(i)，需要验证(st2,mt)满足方程(4.8)或(4.9)。 这可以由前面计算的m和st2进行验证。现在证明(ii)。为求曲线PF过切点组合的斜率，22 Cm- 2Am+ B 亠在PF万程s2 = 中对s求导：D2Cm- 2A dm2s =D dsdmdsW = WtDSt 2 1/2t = (B - 2AR + CR2) Cm- a在w t取值：(4.32)另一万面，(0, R)和(sm)两点间直线斜率为：m - RStB - AR - AR + CR2 (B - 2AR + CR2)1/2