河北中考题库数学阅读与理解.docx

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河北中考题库数学阅读与理解

题库阅读与理解

1.定义新运算:

（a,b）⊗（c,d）=（ac,bd）,（a,b）⊕（c,d）=（a＋c,b＋d）,（a,b）*（c,d）=a2＋c2－bd.

（1）已知（1,2）⊗（p,q）=（2,－4）,分别求出p与q的值；

（2）在

（1）的条件下,求（1,2）⊕（p,q）的结果．

解:

（1）∵（a,b）⊗（c,d）=（ac,bd）,

∴（1,2）⊗（p,q）=（1×p,2×q）,

∵（1,2）⊗（p,q）=（2,－4）,

∴p=2,2q=－4,∴q=－2；

（2）∵p=2,q=－2,（a,b）⊕（c,d）=（a＋c,b＋d）,

∴（1,2）⊕（p,q）=（1,2）⊕（2,－2）=（3,0）．

2.对x,y定义一种新运算T,规定:

T（x,y）=（其中a、b均为非零常数）,这里等式右边是正常的四则运算,例如:

T（0,1）=．已知T（1,－1）=－2,T（4,2）=1．

（1）求a,b的值；

（2）若T（m,m＋3）=－1,求m的值．

解:

（1）即a－b=－2,

T（4,2）=,即2a＋b=5,解得a=1,b=3；

（2）根据题意得,解得,

经检验,是方程的解.

3.一个三位正整数M,其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置,得到一个新的三位数,我们称这个三位数为M的“友谊数”,如:

168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数,并将得到的所有两位数求和,我们称这个和为M的“团结数”,如:

123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32=132．

（1）求证:

M与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）若一个三位正整数N,其百位数字为2,十位数字为a、个位数字为b,且各位数字互不相等（a≠0,b≠0）,若N的“团结数”与N之差为24,求N的值．

解:

（1）由题意可得,设M为100a＋10b＋c,则它的友谊数为:

100b＋10a＋c,

（100a＋10b＋c）－（100b＋10a＋c）=100a＋10b＋c－100b－10a－c

=100（a－b）＋10（b－a）=90（a－b）,

∵＝6（a−b）,

∴M与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）由题意可得,N=2×100＋10a＋b=200＋10a＋b,

N的团结数是:

10×2＋a＋10a＋2＋10×2＋b＋10×b＋2＋10a＋b＋

10b＋a=22a＋22b＋44,

∴22a＋22b＋44－（200＋10a＋b）=24,

已知a、b为整数,且a≠0,b≠0,a≠b,

解得或,即N是284或218．

4.定义:

如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）满足a＋b＋c=0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．

（1）已知ax2＋bx＋c=0（a≠0）是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；

（2）已知关于x的方程m（x2＋1）－3x2＋nx=0是“凤凰”方程,且两个实数根都是整数．求整数m的值．

解:

（1）由题意得:

a＋b＋c=0,b=－a－c,

∵ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个相等的实数根,

∴△=b2－4ac=0,

把b=－a－c代入到b2－4ac=0中得:

（－a－c）2－4ac=0,

（a－c）2=0,∴a=c；

（2）m（x2＋1）－3x2＋nx=0,（m－3）x2＋nx＋m=0,

当x=1时,2m－3＋n=0,n=3－2m,

△=n2－4m（m－3）=n2－4m2＋12m=（3－2m）2－4m2＋12m=9,

∴x=,

解得x1=,x2=1,

因为方程两个实数根都是整数,

∴整数m为0或2或4或6．

5.设三个内角的度数分别为α、β、γ,如果其中一个角的度数是另一个角度数的3倍,那么“和谐”,并把满足条件的α、β、γ（β≤γ）称为“和谐”的一组值．例如α=30°,β=60°,γ=90°是“和谐”的一组值．

（1）当α=48°,写出以α=48°为其中一个内角的“和谐”的一组值；

（2）当α≥135°时,符合条件的“和谐”的值是否只有一组,写出你的判断并用含α的代数式表示β、γ；

（3）α为何值时,符合条件的“和谐”的值分别有一组、二组、三组值？

请你分别写出对应α的值或范围（直接填在下表中）．

符合条件的“和谐”的值

一组

二组

三组

α的值或范围

解:

（1）α=48°,β=33°,γ=99°或α=48°,β=16°,γ=116°．

（2）只有一组,β=（180°－α）,γ=（180°－α）．

（3）α≥135°,45°≤α＜135°,0°＜α＜45°．

【解法提示】α≥135°时,只有一组；45°≤α＜135°时,有二组；0°＜α＜45°时,有三组．

6.观察下表:

我们把某格中字母相加所得到的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x＋y,回答下列问题:

序号

1

2

3

…

图形

x　　x

y

x　　x

xx　x

y　y

xx　x

y　y

x　x　x

x　x　x　x

y　y　y

x　x　x　x

y　y　y

x　x　x　x

y　y　y

x　x　x　x

…

（1）第3格的“特征多项式”为,第4格的“特征多项式”为,第n格的“特征多项式”为；

（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10,第2格的“特征多项式”的值为－16．

①求x,y的值；

②在①的条件下,第n格的“特征多项式”是否有最小值？

若有,求出最小值和相应的n值；若没有,请说明理由．

解:

（1）:

16x＋9y；25x＋16y；（n＋1）2x＋n2y；

【解法提示】第3格的“特征多项式”为:

16x＋9y；第4格的“特征多项式”为:

25x＋16y；

第n格的“特征多项式”为:

（n＋1）2x＋n2y；

（2）①∵第1格的“特征多项式”的值为－10,第2格的“特征多项式”的值为－16,

∴根据题意可得:

解得；

②有最小值,

将x=－,y=代入（n＋1）2x＋n2y=（－）（n＋1）2＋n2=（n－12）2－,

即当n=12时,最小值为－．

7.在平面直角坐标系xOy中,定义一种变换:

使平面内的点P（x,y）对应的像为P′（ax＋by,bx－ay）,其中a、b为常数．已知点（2,1）经变换后的像为（1,－8）．

（1）求a,b的值；

（2）已知线段OP=2,求经变换后线段O′P′的长度（其中O′、P′分别是O、P经变换后的像,点O为坐标原点）．

解:

（1）根据题意,得,

解得；

（2）∵OP=2,点P的坐标是（x,y）,

∴根据勾股定理知,x2＋y2=4．

∵O′、P′分别是O、P经变换后的像,点O为坐标原点,

∴O′（0,0）,P′（2x－3y,－3x－2y）,

∴O′P′====

2,

即经变换后线段O′P′的长度是2．

8.我们规定:

若=（a,b）,=（c,d）,则•=ac＋bd．如=（1,2）,=（3,5）,则•=1×3＋2×5=13．

（1）已知=（2,4）,=（2,－3）,求•；

（2）已知=（x－a,1）,=（x－a,x＋1）,求y=•,问y=•的函数图象与一次函数y=x－1的图象是否有交点,请说明理由．

解:

（1）∵=（2,4）,=（2,－3）,

∴•=2×2＋4×（－3）=－8；

（2）无交点．

理由:

∵=（x－a,1）,=（x－a,x＋1）,

∴y=•=（x－a）2＋（x＋1）

=x2－（2a－1）x＋a2＋1

∴y=x2－（2a－1）x＋a2＋1

联立方程:

x2－（2a－1）x＋a2＋1=x－1,

化简得:

x2－2ax＋a2＋2=0,

∵△=b2－4ac=－8＜0,

∴方程无实数根,两函数图象无交点．

9.已知抛物线,,且满足,则抛物线互为“友好抛物线”.

（1）若y2有最大值8,则y1也有最大值,这样的说法对吗,为什么？

（2）结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解,写出至少2条结论.

解:

（1）不对.

如果y2的最值是8,则y1的最值是,

当k>0时,y1有最大值为8k;

当k<0时,y1有最小值为8k.

（2）当a1与a2符号相反时其开口方向相反,当|a1|≠|a2|时,两抛物线开口大小不同；

y1与y2的对称轴相同;

如果与x轴有两个不同的交点,则y2与x轴也有两个不同的交点（写出2条合理结论即可）

10.在直角坐标系中,如果二次函数y=ax2＋bx＋2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C（0,2）,且AB=OC,那么我们称这个二次函数为“和合二次函数”．

（1）判断二次函数y=x2＋x＋2和y=x＋2是否为“和合二次函数”,并说明理由；

（2）“和合二次函数”y=ax2＋bx＋2的图象经过点（－6,2）．

①求a与b的值；

②此函数图象可由抛物线y=ax2经过怎样的平移得到？

解:

（1）y=x2＋x＋2与x轴没有交点,所以不是“和合二次函数”；y=x＋2与x轴的交点坐标为A（－4,0）,B（－2,0）,AB=2,∴AB=OC,

∴y=x＋2是“和合二次函数”；

（2）①y=ax2＋bx＋2与x轴交点的横坐标为x1,x2,

则x1＋x2=－,x1•x2=,

由题意得,,解得；

②y=x2－x＋2=（x－3）2－,

抛物线y=x2向右平移3个单位,再向下平移个单位得到y=（x－3）2－．

11.我们定义:

等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:

（1）sad60°=,sad90°=；

（2）如图,已知sinA=,其中∠A为锐角,试求sadA的值.

第11题图

解:

（1）1,；

（2）设AB=5a,BC=3a,则AC=4a,

如解图,在AB上取AD=AC=4a,作DE⊥AC于点E,

则DE=AD·sinA=4a·,AE=AD·cosA=4a·,

CE=4aa=,

CD=,

∴sadA=.

第11题解图

12.阅读材料,解答下面问题:

如果一个三角形能被经过其顶点的一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形,这条线段为这个三角形的特异线．

如图①,△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°,BD平分∠ABC,△ABC被分成了两个等腰三角形,即

△ABD、△BDC．我们称BD为△ABC的特异线,△ABC为特异三角形．

（1）如图②,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E．求证:

AE是△ABC的一条特异线．

（2）若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,请在图③、图④中尝试画出△ABC的两条特异线,并标出∠C的度数,（说明:

图形为示意图,只需画出图形,标出角度即可）.

第12题图

解:

（1）∵DE是线段AC的垂直平分线,

∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,

∴∠EAC=∠C,

∴∠AEB=∠EAC＋∠C=2∠C,

∵∠B=2∠C,

∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,

∴AE是△ABC是一条特异线；

（2）如解图①,BD是特异线时,

如果AB=BD=DC,则∠BDA=∠A=30°,

∴∠BDC=150°,

∴∠C=15°,

如解图②,AD=AB,DB=DC,

则∠ADB=∠ABD=75°,

∴∠C=37.5°．

第12题解图

13.定义,如果一个锐角等腰三角形满足一个角度数是另一个角度数的2倍,那么我们称这个三角形为“智