答案 C
2.函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，则当x<0时，f（x）＝________.
解析 当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1＝－f（x），所以f（x）＝－x－1.
答案 －x－1
[微思考]
若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，则f（x），g（x）是偶函数吗？
提示 不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
题型一 利用奇偶性求解析式
角度1 求对称区间上的解析式
【例1－1】
（1）函数f（x）是R上的偶函数，且当x<0时，f（x）＝x（x－1），则当x>0时，f（x）＝________.
（2）函数f（x）为R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）＝________.
解析
（1）设x>0，则－x<0，所以f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1）.因为函数f（x）为R上的偶函数，故当x>0时，f（x）＝f（－x）＝x（x＋1），即x>0时，f（x）＝x（x＋1）.
（2）设x<0，则－x>0，所以f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，故f（0）＝0.
综上，f（x）的解析式为f（x）＝
答案
（1）x（x＋1）
（2）
角度2 构造方程组求解析式
【例1－2】 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式.
解 ∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝，①
用－x代替x，
得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝，②
（①＋②）÷2，得f（x）＝；
（①－②）÷2，得g（x）＝.
规律方法 已知函数f（x）的奇偶性及函数f（x）在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：
（1）求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；
（2）把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；（3）利用f（x）的奇偶性将f（－x）用－f（x）或f（x）表示，从而求出f（x）.
【训练1】
（1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝－x2－x，求函数f（x）的解析式；
（2）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.
解
（1）设x>0，则－x<0，
∴f（－x）＝－（－x）2－（－x）＝－x2＋x.
又f（x）是R上的奇函数，∴f（x）＝－f（－x）＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f（0）＝0，
综上可知f（x）＝
（2）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①
用－x代替x，得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，
∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②
（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；（①－②）÷2，得g（x）＝2x.
题型二 奇偶性与单调性综合应用
角度1 比较大小
【例2－1】
（1）若对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），且f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，则（ ）
A.f（2）
B.f
（2）C.f
（2）D.f（－1）（2）
（2）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A.f（π）>f（－3）>f（－2） B.f（π）>f（－2）>f（－3）
C.f（π）解析
（1）∵对任意实数x总有f（－x）＝f（x），
∴f（x）为偶函数，∴f
（2）＝f（－2）.
又f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1.
∴f
（2）（2）因为函数f（x）为R上的偶函数，
所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f
（2）.
又当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，且π>3>2，
所以f（π）>f（3）>f
（2），故f（π）>f（－3）>f（－2）.
答案
（1）B
（2）A
角度2 利用奇偶性、单调性解不等式
【例2－2】
（1）设定义在[－3，3]上的奇函数f（x）在区间[0，3]上是减函数，若f（1－m）（2）定义在[－2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）为减函数，若g（1－m）解
（1）因为f（x）是奇函数且f（x）在[0，3]上是减函数，
所以f（x）在[－3，3]上是减函数.
所以不等式f（1－m）解得－2≤m<，即m的取值范围为.
（2）∵g（x）在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
∴g（1－m）≤g（m）⇔g（|1－m|）即m的取值范围为.
规律方法 1.比较大小的方法：
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
2.利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）>f（x2）或f（x1）【训练2】
（1）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是增函数.若f（－3）＝0，则<0的解集为________.
（2）已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（－1，1），且在区间[0，1）上为增函数.若f（a－2）＋f（3－2a）<0，试求a的取值范围.
（1）解析 ∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是增函数，∴f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数.∴f（3）＝f（－3）＝0.
当x>0时，由f（x）<0，解得x>3；
当x<0时，由f（x）>0，解得－3故所求解集为{x|－33}.
答案 {x|－33}
（2）解 因为f（a－2）＋f（3－2a）<0，
所以f（a－2）<－f（3－2a），
又因为f（x）是奇函数，所以f（a－2）又因为f（x）在区间[0，1）上为增函数，所以f（x）在区间（－1，1）上为增函数.
所以即解得1所以a的取值范围为（1，2）.
题型三 奇偶性与对称性的应用
【例3】 若函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y＝f（x＋2）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f
（1）（1）C.f（1）D.f（1）解析 ∵y＝f（x＋2）是偶函数，∴f（2－x）＝f（2＋x），
故y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，
∴f
（1）＝f（3）.
又f（x）在（0，2）上为增函数，∴f（x）在（2，4）上为减函数.
又2<<3<<4，∴f>f（3）>f，
即f（1）答案 B
规律方法
（1）要证明函数f（x）的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f（h－x）＝f（h＋x）.
（2）要证明函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f（a＋x）＋f（a－x）＝2b.
【训练3】 证明函数f（x）＝的图象关于点（－1，1）对称.
证明 函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.
任取x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞），
∵f（－1＋x）＋f（－1－x）＝＋
＝＋＝2，
即f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2×1，
∴f（x）的图象关于点（－1，1）对称.
一、素养落地
1.结合图象的对称性，通过奇偶性的应用，提升逻辑推理素养、直观想象素养和数学抽象素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f（x）在x＝0处有定义，那么一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.
4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心是转化.
5.对于抽象函数（未给出解析表达式的函数）可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.若函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ）
A.f（－3）>f（0）>f
（1）B.f（－3）>f
（1）>f（0）
C.f
（1）>f（0）>f（－3）D.f
（1）>f（－3）>f（0）
解析 ∵f（－3）＝f（3），且f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，∴f（－3）>f
（1）>f（0）.
答案 B
2.已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（ ）
A.f（x
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