山东成武一中高中物理必修2同步学案第5章 曲线运动 第6节 Word版含答案.docx

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山东成武一中高中物理必修2同步学案第5章曲线运动第6节Word版含答案

第6节　向心加速度

【学习目标】：

知识与技能

1．理解速度变化量和向心加速度的概念，

2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．

3．能够运用向心加速度公式求解有关问题．

过程与方法

体会速度变化量的处理特点，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法，教师启发、引导．学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果．

情感、与价值观

培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质．特别是“做一做”的实施，要通过教师的引导让学生体会成功的喜悦．

【预习要点】：

要点一对向心加速度的理解

1．加速度定义公式：

a＝，a的方向与Δv的方向一致．

2．速度的变化量Δv＝v2－v1是矢量式，其运算规律符合平行四边形定则．

3．方向：

总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直．

（1）匀速圆周运动虽然线速度的大小不变，但速度方向时刻改变，Δv就是由于速度方向的变化产生的．

0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心．

→0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心．

4．物理意义：

描述线速度方向改变的快慢．

5．圆周运动的性质：

不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．

要点二向心加速度的几种表达式

1．不同形式的各种表达式

（1）对应线速度：

an＝.

（2）对应角速度：

an＝rω2.

（3）对应周期：

an＝r.

（4）对应转速：

an＝4π2n2r.

（5）推导公式：

an＝ωv.

2．理解

（1）当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增加或周期的减小而增大．

（2）当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．

（3）当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．

an与r的关系图象，如图5－6－2所示．

图5－6－2

由an—r图象可以看出：

an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．

3．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动

（1）向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度．

①对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，其只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度．

②

图5－6－3

而对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图5－6－3所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，还有切向加速度．向心加速度表达速度方向改变的快慢，切向加速度表达速度大小改变的快慢．

（2）an＝＝rω2＝ωv，适用于匀速圆周运动和变速圆周运动，要注意的是变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度．要求某一时

刻的向心加速度，必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算.

【答疑解惑】：

如何理解向心加速度的含义？

分析：

速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向（如坐标轴）之间的夹角来描述．做匀速圆周运动的物体的速度方向（圆周的切线方向）时刻在变化，在Δt时间内速度方向变化的角度Δφ等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期T内半径转过2π弧度，速度方向变化的角度也是2π弧度．因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度．

即ω＝＝

上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢．角速度相等，速度方向变化的快慢相同．

由向心加速度公式an＝ω2r＝＝vω可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速度的大小有关，从a＝vω看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积．

图5－6－4

例如：

在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的A、B、C三点，它们有相同的角速度ω，但线速度不同，vA＝rAω，vB＝rBω，vC＝rCω，如图5－6－4所示．因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等，aA

又如：

A、B两个物体分别沿半径为rA和rB做圆周运动，rA＝rB，它们的角速度不同，设ωA＝

ωB，因此它们的线速度的关系为vA＝vB，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即aA＝aB.但速度方向变化的快慢却不同．

综上所述：

向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率．速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：

当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，

向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢.

【典例剖析】：

一、对向心加速度的理解

例1关于向心加速度，下列说法正确的是（　　）

A．向心加速度是描述线速度变化的物理量

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D．向心加速度的大小也可用a＝来计算

解析　加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对．只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错．公式a＝适用于匀变速运动，圆周运动是变加速运动，D错．

答案　B

方法总结

深刻理解向心加速度的物理意义是描述速度方向改变快慢的，方向始终指向圆心，所以它是变量.

二、对向心加速度的表达式的理解

例2如图5－6－5所示

图5－6－5

为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知（　　）

A．质点P的线速度大小不变

B．质点P的角速度大小不变

C．质点Q的角速度随半径变化

D．质点Q的线速度大小不变

解析　由an＝知：

v一定时，an∝，即an与r成反比，由an＝rω2知：

ω一定时，an∝r.从图象可知，质点P的图线是双曲线，即a与r成反比，可得质点P的线速度大小是不变的．同理可知：

质点Q的角速度是不变的．

答案　A

方法总结

由an＝＝ω2r分析，an究竟与半径成正比还是成反比，要看清是v一定还是ω一定.

三、传动装置的向心加速度的计算

例3如图5－6－6所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，（设转动过程中不打滑）则（　　）

图5－6－6

A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度

B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度

C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度

D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度

解析　因为两轮的转动是通过皮带传动的，又因皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等，在O1轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQRN，则由an＝ω2r可知，aQ>aN，综上可见，aM>aN.选项A正确．

答案　A

方法总结

分析传动问题关键有两点：

其一是同一轮上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，

与皮带接触的各点线速度相同．再正确的选择an＝ω2r或an＝，进行求解.

【课堂练习】：

1．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）

A．由an＝知an与r成反比

B．由an＝ω2r知an与r成正比

C．由ω＝知ω与r成反比

D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比

答案　D

解析　由关系式y＝kx知，y与x成正比的前提条件是k为定值．只有当v一定时，才有an与r成反比；只有当ω一定时，才有an与r成正比．

2．在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（　　）

A．角速度B．线速度

C．向心加速度D．转速

答案　AD

解析　线速度和向心加速度都是矢量，方向时刻改变，是变量，故只有A、D正确．

3．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（　　）

A．它们的方向都是沿半径指向地心

B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴

C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大

D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小

答案　BD

解析　如右图所示，

地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cosφ.由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误．

4．一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为（　　）

A．2m/s2B．4m/s2C．0D．4πm/s2

答案　D

5．甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30r/min，乙球的转速是15r/min，则两小球的向心加速度之比为（　　）

A．1∶1B．2∶1C．8∶1D．4∶1

答案　C

解析　ω＝2πn，an＝ω2r，故＝（）2＝8∶1，C项正确．

6．如图5－6－7所示，

图5－6－7

压路机前后轮半径之比是1∶3，A、B分别是前后轮边缘上的点，C为后轮上的一点，它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半．则当压路机运动后三点A、B、C的角速度之比为________，向心加速度之比为________．

答案　3∶1∶1　6∶2∶1

解析　压路机在地面上行驶，不打滑时，两轮边缘的线速度大小相等，这里的地面好像是连接两轮的皮带．

因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离，则前、后轮边缘上的A、B线速度大小相等，而同一轮上的B、C点具有相同的角速度．

根据vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr

可得ωA∶ωB＝∶＝∶＝3∶1

所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1

根据an＝ω2r，可得aA＝ωrA，aB＝ωrB，aC＝ωrC

所以aA∶aB∶aC＝（3ωC）2rA∶（ω·3rA）∶（ω·rA）＝9∶3∶＝6∶2∶1.

【课内探究】：

题型①对向心加速度的认识

关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）

A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C．匀速圆周运动不属于匀速运动

D．向心加速度越大，物体速率变化越快

答案　BC

解析　向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，所以A错；由向心加速度的意义可知B对，D错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，很显然C正确．

拓展探究下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（　　）

A．向心加速度越大，物体速率变化越快

B．向心加速度越大，物体速度变化越大

C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

答案　C

归纳总结

深刻理解向心加速度的物理意义及矢量性，是做对的前提.

题型②向心加速度的表达式的应用

如图1所示，

图1

一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（　　）

A．A、B两点具有相同的角速度

B．A、B两点具有相同的线速度

C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心

D．A、B两点的向心加速度数值相同

答案　A

解析　

A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如右图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、