高三数学试题精选届高考数学导数复习题含答案解析.docx

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高三数学试题精选届高考数学导数复习题含答案解析

2018届高考数学导数复习题（含答案解析）

5c第十四导数综合能力测试（Ⅱ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

1．已知某函数的导数为′＝12（x－1），则这个函数可能是（）

A．＝ln1－xB．＝ln11－x

c．＝ln（1－x）D．＝ln11－x

答案A

解析对选项求导．

（ln1－x）′＝11－x（1－x）′

＝11－x12（1－x）－12（－1）

＝12（x－1）故选A

2．（2018江西）设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线方程为＝2x＋1，则曲线＝f（x）在点（1，f

（1））处切线的斜率为（）

A．4B．－14c．2D．－12

答案A

解析f′（x）＝g′（x）＋2x

∵＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线方程为＝2x＋1，

∴g′

（1）＝2，∴f′

（1）＝g′

（1）＋2×1＝2＋2＝4，

∴＝f（x）在点（1，f

（1））处切线斜率为4

3．（2018辽宁）曲线＝xx－2在点（1，－1）处的切线方程为（）

A．＝x－2B．＝－3x＋2

c．＝2x－3D．＝－2x＋1

答案D

解析′＝（xx－2）′＝－2（x－2）2，

∴＝′|x＝1＝－2

l＋1＝－2（x－1），则＝－2x＋1故选D

4．曲线＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为（）

A94e2B．2e2c．e2De22

答案D

解析∵′＝ex，∴＝ex在点（2，e2）的导数为e2

∴＝ex在点（2，e2）的切线方程为＝e2x－e2

＝e2x－e2与x轴、轴的交点分别为（1,0）和（0，－e2），∴S＝12×1×e2＝e22故选D

5．已知函数＝f（x），＝g（x）的导函数的图象如图，那么＝f（x），＝g（x）的图象可能是

（）

答案D

解析由题意知函数f（x），g（x）都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′（x）＞g′（x），即f（x）的增长速度大于g（x）的增长速度；当x＞x0时，f′（x）＜g′（x），g（x）的增长速度大于f（x）的增长速度，数形结合，选D

6．设＝8x2－lnx，则此函数在区间（0，14）和（12，1）内分别（）

A．单调递增，单调递减

B．单调递增，单调递增

c．单调递减，单调递增

D．单调递减，单调递减

答案c

解析′＝16x－1x

当x∈（0，14）时，′＜0，＝8x2－lnx为减函数；

当x∈（12，1）时，′＞0，＝8x2－lnx为增函数．

7．下列关于函数f（x）＝（2x－x2）ex的判断正确的是（）

①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；

②f（－2）是极小值，f

（2）是极大值；

③f（x）没有最小值，也没有最大值．

A．①③B．①②③

c．②D．①②

答案D

解析由f（x）＞0（2x－x2）ex＞02x－x2＞00＜x＜2，故①正确；

f′（x）＝ex（2－x2），由f′（x）＝0得x＝±2，

由f′（x）＜0得x＞2或x＜－2，

由f′（x）＞0得－2＜x＜2，

∴f（x）的单调减区间为（－∞，－2），（2，＋∞）．

单调增区间为（－2，2）．

∴f（x）的极大值为f

（2），极小值为f（－2），故②正确．

∵x＜－2时，f（x）＜0恒成立．

∴f（x）无最小值，但有最大值f

（2）．

∴③不正确．

8．已知f（x）＝－x3－x，x∈[，n]，且f（）f（n）＜0，则方程f（x）＝0在区间[，n]上（）

A．至少有三个实根B．至少有两个实根

c．有且只有一个实根D．无实根

答案c

9．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）

A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6

c．a＜－3或a＞6D．a＜－1或a＞2

答案c

解析由于f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1，有f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6）．

若f（x）有极大值和极小值，

则Δ＝4a2－12（a＋6）＞0，

从而有a＞6或a＜－3，故选c

10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20c，要使其体积最大，其高应为（）

A2033cB．100c

c．20cD203c

答案A

解析设高为h，则半径为202－h2，

体积V＝13πr2h＝13π（202－h2）h

＝－13πh3＋2023πh（0＜h＜20），

V′＝－πh2＋2023π

令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033（舍去），

即当h＝2033时，V为最大值．

11．（2018河南省实验中学）若函数f（x）＝（2－）xx2＋的图象如图所示，则的范围为（）

A．（－∞，－1）B．（－1,2）

c．（1,2）D．（0,2）

答案c

解析f′（x）＝（x2－）（－2）（x2＋）2

＝（x－）（x＋）（－2）（x2＋）2

由图知－2＜0，且＞0，故0＜＜2，

又＞1，∴＞1，因此1＜＜2，选c

12．定义在R上的函数f（x）满足f（4）＝1f′（x）为f（x）的导函数，已知函数＝f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a＋b）＜1，则b＋2a＋2的取值范围是（）

A．（13，12）

B．（－∞，12）∪（3，＋∞）

c．（12，3）

D．（－∞，－3）

答案c

解析由＝f′（x）的图象知，当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；两正数a，b满足f（2a＋b）＜1，f（4）＝1，

点（a，b）的区域为图中的阴影部分（不包括边界），b＋2a＋2的意义为阴影部分的点与点A（－2，－2）连线的斜率，直线AB、Ac的斜率分别为12、3，则b＋2a＋2的取值范围是（12，3），故选c

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

）

13．（2018武汉模拟）函数＝xln（－x）－1的单调减区间是________．

答案（－1e，0）

14．已知函数f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为，，则－＝________

答案32

解析令f′（x）＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，

列表得

x－3（－3，－2）－2（－2,2）2（2,3）3

f′（x）＋0－0＋

f（x）17

极值24

极值－8

－1

可知＝24，＝－8，∴－＝32

15．（2018南京一调）已知函数f（x）＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率总满足12≤≤4，则实数a的值是________．

答案92

解析f′（x）＝a－4x3，x∈[12，1]，由题意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，则实数a的值是92

16．（2018淮北模拟）已知函数f（x）的导数f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．

答案（－1,0）

解析结合二次函数图象知，

当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，

当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈（－1,0）．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出字说明、演算步骤或证明过程。

）

17．（本小题满分10分）设a为大于0的常数，函数f（x）＝x－ln（x＋a）．

（1）当a＝34，求函数f（x）的极大值和极小值；

（2）若使函数f（x）为增函数，求a的取值范围．

解析

（1）当a＝34时，f′（x）＝12x－1x＋34，

令f′（x）＝0，则x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，

当x∈[0，14]时，f′（x）0，当x∈（14，94），f′（x）0，

当x∈（94，＋∞）时，f′（x）0，

∴f（x）极大值＝f（14）＝12，f（x）极小值＝f（94）＝32－ln3

（2）f′（x）＝12x－1x＋a，若f（x）为增函数，则当x∈[0，＋∞）时，f′（x）≥0恒成立，

∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，

即a≥2x－x＝－（x－1）2＋1恒成立，

∴a≥1

18．（本小题满分12分）已知函数＝f（x）＝lnxx

（1）求函数＝f（x）的图象在x＝1e处的切线方程；

（2）求＝f（x）的最大值；

（3）设实数a＞0，求函数F（x）＝af（x）在[a,2a]上的最小值．

解析

（1）∵f（x）定义域为（0，＋∞），∴f′（x）＝1－lnxx2

∵f（1e）＝－e，又∵＝f′（1e）＝2e2，

∴函数＝f（x）的在x＝1e处的切线方程为

＋e＝2e2（x－1e），即＝2e2x－3e

（2）令f′（x）＝0得x＝e

∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，

当x∈（e，＋∞）时，f′（x）＜0，则在（e，＋∞）上为减函数，

∴fax（x）＝f（e）＝1e

（3）∵a＞0，由

（2）知

F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减．

∴F（x）在[a,2a]上的最小值f（x）in＝in{F（a），F（2a）}，

∵F（a）－F（2a）＝12lna2，

∴当0＜a≤2时，F（a）－F（2a）≤0，fin（x）＝F（a）＝lna

当a＞2时，F（a）－F（2a）＞0，f（x）in＝f（2a）＝12ln2a

19．（本小题满分12分）设a＞0，函数f（x）＝x－ax2＋1＋a

（1）若f（x）在区间（0,1]上是增函数，求a的取值范围；

（2）求f（x）在区间（0,1]上的最大值．

解析

（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）＝1－axx2＋1

要使f（x）在区间（0,1]上是增函数，又要f′（x）＝1－axx2＋1≥0在（0,1]上恒成立，

即a≤x2＋1x＝1＋1x2在（0,1]上恒成立．

因为1＋1x2在（0,1]上单调递减，

所以1＋1x2在（0,1]上的最小值是2

注意到a＞0，所以a的取值范围是（0，2]．

（2）①当0＜a≤2时，由

（1）知，f（x）在（0,1]上是增函数，

此时f（x）在区间（0,1]上的最大值是f

（1）＝1＋（1－2）a

②当a＞2时，令f′（x）＝1－axx2＋1＝0，

解得x＝1a2－1∈（0,1）．

因为当0＜x＜1a2－1时，f′（x）＞0；

当1a2－1＜x＜1时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，1a2－1）上单调递增，在（1a2－1，1）上单调递减．

此时f（x）在区间（0,1]上的最大值是f（1a2－1）＝a－a2－1

综上所述，当0＜a≤2时，f（x）在区间（0,1]上的最大值是1＋（1－2）a；

当a＞2时，f（x）在区间（0,1]上的最大值是a－a2－1

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝1＋ln（x＋1）x（x＞0）

（1）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？

证明你的结论；

（2）若当x＞0时，f（x）＞x＋1恒成立，求正整数的最大值．

解析

（1）f′（x）＝1x2[xx＋1－1－ln（x＋1）]＝－1x2[1x＋1＋ln（x＋1）]．

由x＞0，x2＞0，1x＋1＞0，ln（x＋1）＞0，得f′（x）＜0

因此函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数．

（2）解法一当x＞0时，f（x）＞x＋1恒成立，令x＝1有＜2[1＋ln2]．

又为正整数．则的最大值不大于3

下面证明当＝3时，f（x）＞x＋1（x＞0）