中考压轴题二次函数与四边形综合训练含答案.docx

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中考压轴题二次函数与四边形综合训练含答案

二次函数与四边形

一．二次函数与四边形的形状

例1.（浙江义乌市）如图，抛物线

与x轴交A、B两点（A

点在B点左侧），直线

与抛物线交于A、C两点，其中

C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平

　　行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，

　　使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是

　　平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F

　　点坐标；如果不存在，请说明理由．

练习1.（河南省实验区）23．如图，对称轴为直线

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（

，

）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与

之间的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与

轴交于点

和

的抛物线

的顶点为

，抛物线

与

关于

轴对称，顶点为

．

（1）求抛物线

的函数关系式；

（2）已知原点

，定点

，

上的点

与

上的点

始终关于

轴对称，则当点

运动到何处时，以点

为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在

上是否存在点

，使

是以

为斜边且一个角为

的直角三角形？

若存，求出点

的坐标；若不存在，说明理由．

练习3.（山西卷）如图，已知抛物线

与坐标轴的交点依次是

，

，

．

（1）求抛物线

关于原点对称的抛物线

的解析式；

（2）设抛物线

的顶点为

，抛物线

与

轴分别交于

两点（点

在点

的左侧），顶点为

，四边形

的面积为

．若点

，点

同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点

，点

同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点

与点

重合为止．求出四边形

的面积

与运动时间

之间的关系式，并写出自变量

的取值范围；

（3）当

为何值时，四边形

的面积

有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形

能否形成矩形？

若能，求出此时

的值；若不能，请说明理由．

二．二次函数与四边形的面积

例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：

y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x

…

-3

-2

1

2

…

y

…

-

-4

-

0

…

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?

若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

练习3.（吉林课改卷）如图，正方形

的边长为

，在对称中心

处有一钉子．动点

，

同时从点

出发，点

沿

方向以每秒

的速度运动，到点

停止，点

沿

方向以每秒

的速度运动，到点

停止．

，

两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设

秒后橡皮筋扫过的面积为

．

（1）当

时，求

与

之间的函数关系式；

（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求

值；

（3）当

时，求

与

之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时

的变化范围；

（4）当

时，请在给出的直角坐标系中画出

与

之间的函数图象．

练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：

y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

（1）求l2的解析式；

（2）求证：

点D一定在l2上；

（3）□ABCD能否为矩形？

如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由.注：

计算结果不取近似值

.

三．二次函数与四边形的动态探究

例1.（荆门市）28.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

（3）在

（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？

若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

例2.（2007年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

例3..（湖南省郴州）27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，

表示矩形NFQC的面积．

（1）S与

相等吗？

请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，

是等腰三角形．

练习1.（07年河池市）如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点

从

出发以每秒2个单位长度的速度向

运动；点

从

同时出发，以每秒1个单位长度的速度向

运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点

作

垂直

轴于点

，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点（填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？

若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

练习2..（江西省）25．实验与探究

（1）在图1，2，3中，给出平行四边形

的顶点

的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点

的坐标，它们分别是

，，；

（2）在图4中，给出平行四边形

的顶点

的坐标（如图所示），求出顶点

的坐标（

点坐标用含

的代数式表示）；

归纳与发现

（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点

的坐标的探究，你会发现：

无论平行四边形

处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为

（如图4）时，则四个顶点的横坐标

之间的等量关系为；纵坐标

之间的等量关系为（不必证明）；

运用与推广

（4）在同一直角坐标系中有抛物线

和三个点

，

（其中

）．问当

为何值时，该抛物线上存在点

，使得以

为顶点的四边形是平行四边形？

并求出所有符合条件的

点坐标．

练习3.（武汉市）如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（－1，0）、B（0，2），抛物线y＝ax2＋ax－2经过点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？

若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，且AF＝AE，AF交BC于点G，连结BF。

下列结论：

①BE＋BF的值不变；②

，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。

答案：

一．二次函数与四边形的形状

例1.解：

（1）令y=0，解得

或

∴A（-1，0）B（3，0）；

将C点的横坐标x=2代入

得y=-3，∴C（2，-3）

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）

则P、E的坐标分别为：

P（x，-x-1），

E（

∵P点在E点的上方，PE=

∴当

时，PE的最大值=

（3）存在4个这样的点F，分别是

练习1.解：

（1）由抛物线的对称轴是

，可设解析式为

．

把A、B两点坐标代入上式，得

解之，得

故抛物线解析式为

，顶点为

（2）∵点

在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

，

∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．

∵OA是

的对角线，

∴

．

因为抛物线与

轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量

的

取值范围是1＜

＜6．

1根据题意，当S=24时，即

．

化简，得

解之，得

故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．

点E1（3，－4）满足OE=AE，所以

是菱形；

点E2（4，－4）不满足OE=AE，所以

不是菱形．

2当OA⊥EF，且OA=EF时，

是正方形，此时点E的

坐标只能是（3，－3）．

而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，

使

为正方形．

练习2.解：

（1）由题意知点

的坐标为

．

设

的函数关系式为

．

又

点

在抛物线

上，

，解得

．

抛物线

的函数关系式为

（或

）．

（2）

与

始终关于

轴对称，

与

轴平行．

设点

的