选择性必修 第四章 数列42 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式.docx

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选择性必修第四章数列42等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式

选择性必修第四章数列

4.2　等差数列

第1课时　等差数列的概念及通项公式

学习目标

1.理解等差数列的定义.

2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.

3.掌握等差中项的概念.

问题导学

知识点一　等差数列的概念

思考　给出以下三个数列：

（1）0,5,10,15,20；

（2）4,4,4,4，…；

（3）18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它们有什么共同的特征？

答案　从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.

梳理　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.

知识点二　等差中项的概念

思考　下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

（1）2,4；

（2）－1,5；（3）0,0；（4）a，b.

答案　插入的数分别为3,2,0，

.

梳理　如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝

.

知识点三　等差数列的通项公式

思考　对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.

试猜想an＝a1＋（　　）×2.

答案　n－1

梳理　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.此公式可用累加法证明.

1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（×）

2.任意两个实数都有等差中项.（√）

3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.（√）

4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.（√）

题型探究

类型一　等差数列的概念

例1　判断下列数列是不是等差数列？

（1）9,7,5,3，…，－2n＋11，…；

（2）－1,11,23,35，…，12n－13，…；

（3）1,2,1,2，…；

（4）1,2,4,6,8,10，…；

（5）a，a，a，a，a，….

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

解　由等差数列的定义得

（1），

（2），（5）为等差数列，（3），（4）不是等差数列.

反思与感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an（n≥1，n∈N*）是不是一个与n无关的常数.

跟踪训练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列（　　）

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n的等差数列

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　A

解析　∵an＋1－an＝2（n＋1）＋5－（2n＋5）＝2，

∴{an}是公差为2的等差数列.

类型二　等差中项

例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

解　∵－1，a，b，c,7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，

∴b＝

＝3.

又a是－1与3的等差中项，∴a＝

＝1.

又c是3与7的等差中项，∴c＝

＝5.

∴该数列为－1,1,3,5,7.

反思与感悟　在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1（n≥2，n∈N*），即an＝

，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.

跟踪训练2　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.

又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.

两式相加，得m＋n＝6.

所以m和n的等差中项为

＝3.

类型三　等差数列通项公式的求法及应用

例3　在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　求等差数列的项

解　由题意可得

解得d＝2，a1＝2.

∴an＝2＋（n－1）×2＝2n.

反思与感悟　根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.

跟踪训练3　

（1）求等差数列8,5,2，…的第20项；

（2）判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　求等差数列的项

解　

（1）由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，

由n＝20，得a20＝8＋（20－1）×（－3）＝－49.

（2）由a1＝－5，d＝－9－（－5）＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋（n－1）×（－4）＝－4n－1.

由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，

即－401是这个数列的第100项.

例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？

考点　等差数列的应用题

题点　等差数列的应用题

解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.

所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.

令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，

那么当出租车行至14km处时，n＝11，

此时a11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2.

即需要支付车费23.2元.

反思与感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.

跟踪训练4　在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的气温.

考点　等差数列的应用题

题点　等差数列的应用题

解　用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，

由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，

解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.

∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，

即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.

随堂检测

1.下列数列不是等差数列的是（　　）

A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16

C.

，

，1，

，

D.－3，－2，－1,1,2

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　D

2.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为（　　）

A.2B.3C.－2D.－3

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　C

解析　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.

3.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于（　　）

A.30°B.60°C.90°D.120°

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　B

解析　因为A，B，C成等差数列，

所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，

又因为A＋B＋C＝180°，

所以3B＝180°，从而B＝60°.

4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为（　　）

A.52B.62

C.－62D.－52

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　A

解析　公差d＝－2－（－5）＝3，a20＝－5＋（20－1）d＝－5＋19×3＝52.

5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是（　　）

A.92B.47

C.46D.45

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　C

解析　d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋（n－1）d＝1＋（n－1）·（－2），∴n＝46.

1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法

（1）an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列；

（2）2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列；

（3）an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

2.由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.

课时检测

一、选择题

1.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是（　　）

A.公差为1的等差数列

B.公差为

的等差数列

C.公差为－

的等差数列

D.不是等差数列

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　B

解析　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝

.所以数列{an}是公差为

的等差数列.

2.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为（　　）

A.52B.51C.50D.49

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　A

解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝

的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×

＝52.

3.若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是（　　）

A.b－aB.

C.

D.

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　等差数列公差有关问题

答案　C

解析　由等差数列的通项公式，得b＝a＋（4－1）d，

所以d＝

.

4.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于（　　）

A.15B.22C.7D.29

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　求等差数列的项

答案　A

解析　设{an}的首项为a1，公差为d，

根据题意得

解得a1＝47，d＝－8.

所以a5＝47＋（5－1）×（－8）＝15.

5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是（　　）

A.第7项B.第8项

C.第9项D.第10项

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　B

解析　∵a1＝20，d＝－3，

∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，

∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.

6.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　）

A.26B.29C.39D.52

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　C

解析　∵5，x，y，z,21成等差数列，

∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.

∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，

∴x＋y＋z＝39.

7.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则

等于（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　C

解析　∵b是x,2x的等差中项，∴b＝