实验二极限与连续.docx
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实验二极限与连续
天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称极限与连续
所属课程名称数学实验
实验类型微积分实验
实验日期2012.3.23
班级09数应
（2）班
学号291010214
姓名解道亮
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
通过计算与作图，加深对数列极限概念的理解，掌握用Mathmatica画散点图，以及计算极限的方法，深入理解函数的连续与间断。
【实验原理】
1．画散点图命令ListPlot
命令ListPlot用于绘制坐标平面上一列点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的散点图．其基本形式是
ListPlot[{{xl，y1}，{x2，y2}，…，{xn，yn}}，选项]
或者
ListPlot[{y1，y2，--，yn}，选项]
当第二种情况时，作出的点列是（1，y1），（2，y2），…，（n，yn），即命令默认自变量
依次取正整数1，2，…，n，于是，命令ListPiot可以作数列的散点图．
ListPlot的选项主要有两个：
（i）PlotJoined一>True，要求用折线将散点连接起来；‘
（ii）PlotStyle--->Pointsize[0.02]，表示散点的大小
2．产生集合或者数表命令Table
常用命令Table产生一个数表或者一个集合，例如，输入
Table[j^2，{j，1，5}]
则产生前5个正整数的平方组成的数表{1，4，9，16，25}
3．连加求和命令Sum
连加求和使用命令Sum该命令大致相当于求和数学符号∑．例如，输入
Sum[1/i，{i，100}]//N
与Sum类似的有连乘求积的命令Product
4．多次自复合命令Nest
求函数多次自复合用命令Nest．例如，输入
Nest[Sin，x，3]
则输出将正弦函数自己复合3次的函数
Sin[Sin[Sin[x]]]
5．求极限命令limit
命令Limit用于计算数列或者函数的极限，其基本形式是
Limit[f[x]，x一>a]
其中f（x）是数列或者函数的表达式，x－>a是自变量的变化趋势，如果自变量趋向于无穷，用x－>Infinity．
对于单侧极限，通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向．
求右极限，x－>a+0时，用Limit[f[x]，x一>a，Directiion一>-1]
求左极限，ｘ－>a-0时，用Limit[f[x]，x一>a，Direction一>＋I]
求x一＞+∞时的极限，用Limit[f[x]，x一>Infinity，Direction一>+1]
求x一-∞时的极限，用Limit[f[x]，x一>Infinity，Directlon一>-1]
注意：
右极限用减号，表示自变量减少趋向于a
【实验环境】
Windows7
Intel（R）Core（TM）i3CPUM380@2.52GHz
Mathematic5.2
二、实验内容：
【实验方案】
1．数列极限的概念
2．递归数列
3．函数的单侧极限
4．两个重要极限
5．无穷大
6．连续与间断
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1．数列极限的概念
通过计算与作图，加深对极限概念的理解．
例2.1 考虑极限
Print[n，""，Ai，""，0.4－Ai]；
For[i=1，i15，i++，Aii=N[（2i^3+1）/（5i^3+1），10]；
Bii=0.4－Aii；Print[i，""，Aii，""，Bii]]
输出为数表
输入
fn=Table[（2n^3+1）/（5n^3+1），{n，15}]；
ListPlot[fn，PlotStyle{PointSize[0.02]}]
观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0.4
2．递归数列
例2.2 设
．从初值
出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为递归数列，输入
f[1]=N[Sqrt[2]，20]；
f[n_]:
=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]；
f[9]
则已经定义了该数列，输入
fn=Table[f[n]，{n，20}]
得到这个数列的前20项的近似值．再输入
ListPlot[fn，PlotStyle{PointSize[0.02]}]
得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线
3．函数的单侧极限
例2.3考虑函数
，输入
Plot[ArcTan[x]，{x，-50，50}]
观察函数值的变化趋势．分别输入
Limit[ArcTan[x]，xInfinity，Direction+1]
Limit[ArcTan[x]，xInfinity，Direction-1]
输出分别为
和
，分别输入
Limit[sign[x]，x0，Direction+1]
Limit[Sign[x]，x0，Direction－1]
输出分别为-1和1
4．两个重要极限
例2．4 考虑第一个重要极限
，输入
Plot[Sin[x]/x，{x，－Pi，Pi}]
观察函数值的变化趋势．输入
Limit[Sin[x]/x，x0]
输出为1，结论与图形一致．
例2．5考虑第二个重要极限
，输入
Limit[（1+1/n）^n，nInfinity]
输出为e．再输入
Plot[（1+1/n）^n，{n，1，100}]
观察函数的单调性
5．无穷大
例2．6 考虑无穷大，分别输人
Plot[（1+2x）/（1-x），{x，-3，4}]
Plot[x^3-x，{x，-20，20}]
观察函数值的变化趋势．输入
Limit[（1+2x）/（1-x），x1]
输出为
例2．7 考虑单侧无穷大，分别输人
Plot[E^（1/x），{x，-20，20}，PlotRange{-1，4}]
Limit[E^（1/x），x0，Direction+1]
Limit[E^（1/x），x0，Direction-1]
输出为图2.8和左极限0，右极限
．再输入
Limit[E^（1/x），x0]
观察函数值的变化趋势．
例2．8 输入
Plot[x+4*Sin[x]，{x，0，20Pi}]
观察函数值的变化趋势．
输出为图2.9．观察函数值的变化趋势，当
时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无穷大并不要求函数单调
例2．9 输入
Plot[x*Sin[x]，{x，0，20Pi}]
观察图中函数值变化趋势．这个函数无界．但是，当
时，这个函数不是无穷大．于是，趋向于无穷大的函数当然无界，而无界函数并不一定是无穷大．
6．连续与间断
例2．10 观察可去间断．分别输入
Plot[Tan[x]/x，{x，-1，1}]
Plot[（Sin[x]-x）/x^2，{x，-Pi，Pi}]
例2．11 观察跳跃间断．分别输入
Plot[Sign[x]，{x，-2，2}]
Plot[（E^（1/x）-1）/（E^（1/x）+1），{x，-2，2}]
例2．12 观察无穷间断．分别输入
Plot[Tan[x]，{x，-2Pi，2Pi}]
Plot[1/（1-x^2），{x，-3，3}]
例2．13 观察振荡间断．输入
Plot[Sin[1/x]，{x，-Pi，Pi}]
Plot[Cos[1/x]，{x，-Pi，Pi}]
再输人Limit[Sin[x]，x0]
例2·14 有界量乘以无穷小．分别输入
Plot[x*Sin[1/x]，{x，-Pi，Pi}]
Limit[x*Sin[x]，x0]
输出的图形为图2.16，极限为0．因为无穷小乘以有界函数得无穷小．
【实验结论】（结果）
1.用Mathematic5.2中的程序求极限，判断连续都很方便。
2.画散点图很精确。
3.实验很成功。
【实验小结】（收获体会）
1.用Mathematic5.2中的程序求极限，判断连续都很方便。
2.画散点图很精确。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：
源程序
第一题
Clear[f];
f[n_]:
=Sum[1/j^3,{j,1,n}];
xn=N[Table[f[n],{n,30}]]
ListPlot[xn,PlotStylePointSize[0.02]]
{1.,1.125,1.16204,1.17766,1.18566,1.19029,1.19321,1.19516,1.19653,1.19753,
1.19828,1.19886,1.19932,1.19968,1.19998,1.20022,1.20043,1.2006,1.20074,
1.20087,1.20098,1.20107,1.20115,1.20122,1.20129,1.20135,1.2014,1.20144,
1.20148,1.20152}
第二题
Clear[f];
f[1]=1;
f[n_]:
=f[n]=N[（f[n-1]+3/f[n-1]）/2,20];
fn=Table[f[n],{n,30}]
ListPlot[fn,PlotStylePointSize[0.01]]
{1,2.0000000000000000000,1.7500000000000000000,1.7321428571428571429,
1.7320508100147275405,1.7320508075688772953,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,1.7320508075688772935,
1.7320508075688772935,1.7320508075688772935}
Clear[f];
Plot[{Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30]},{x,-2Pi,2Pi},
PlotStyle{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0.5,0.5,0],RGBColor[0.5,0,0],
RGBColor[1,0,0.5]}]
第三题
f[1]=N[Nest[Sin,3,1],30];
f[n_]:
=N[Nest[Sin,f[n-1],30]];
fn=Table[f[n],{n,30}]
ListPlot[fn,PlotStylePointSize[0.01]]
{0.141120008059867222100744802808,0.128831,0.119284,0.111589,0.105216,
0.0998242,0.0951856,0.0911395,0.0875695,0.084389,0.0815319,0.0789469,0.0765933,
0.0744385,0.072456,0.070624,0.0689244,0.067342,0.0658638,0.0644789,0.0631779,
0.0619527,0.0607961,0.0597019,0.0586649,0.0576801,0.0567433,0.0558507,0.054999,
0.0541851}
第四题
1、
Graphics
1
2、
Graphics
0
3、
Plot[（Tan[x]-Sin[x]）/x^3,{x,-Pi,Pi}]
Graphics
Limit[（Tan[x]-Sin[x]）/x^3,x0]
4、
Graphics
1
第六题
Plot[Evaluate[Table[Cos[x]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange{-1.2,1.2}]
Graphics
附录2：
实验报告填写说明
1．实验项目名称：
要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：
目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：
实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：
这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：
写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：
本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
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