九年级数学圆的综合的专项培优练习题附答案.docx

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九年级数学圆的综合的专项培优练习题附答案

九年级数学圆的综合的专项培优练习题附答案

一、圆的综合

1.如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0）,F（0,6）.

（1）当G（4,8）时，则ZFGE=°

（2）在图中的网格区域内找一点P,使/FPE=90且四边形OEPF被过P点的一条直线分割

成两部分后，可以拼成一个正方形.

要求：

写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）.

【答案】

（1）90；

（2）作图见解析，P（7,7）,PH是分割线.

【解析】

试题分析：

（1）根据勾股定理求出4FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定4FEG是

直角三角形，且/FGE="90"°.

（2）一方面，由于/FPE=90,从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径

的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一

个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在/FOE的角平分线上，因此可得P（7,

7）,PH是分割线.

试题解析：

（1）连接FE,

-E（8,0）,F（0，6）,G（4,8）,

・•・根据勾股定理，得FG=2,EG」#5,FE=10.

I（^）a+（^）z=io2,即同十*市

・•.△FEG是直角三角形，且ZFGE=90.°

（2）作图如下:

P（7,7）,PH是分割线.

考点：

1.网格问题；2.勾股定理和逆定理；3.作图（设计）；4.圆周角定理.

2.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PAPB,PC.将4PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.

（1）设AB的长为a,PB的长为b（b

（2）若PA=2,PB=4,/APB=135：

求PC的长.

IT

【答案】

（1）S阴影=4（a2-b2）；

（2）PC=6.

【解析】

试题分析：

（1）依题意，将/\P'CB时针旋转90。

可与4PAB重合，此时阴影部分面积二扇形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。

，可据

此求出阴影部分的面积.

（2）连接PP；根据旋转的性质可知：

BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三角形，/BP'C=/BPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135°-45=90°,可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长.

试题解析：

（1）二,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP'C的位置，

••.△PAB^AP'CB,

Sapae=Sxp'cb,n

S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP=.（a2-b2）；

（2）连接PP,根据旋转的性质可知：

△APB^^CPp

p

，BP=BP',=P'C=PA=2PBP'=90°

△PBP是等腰直角三角形，p'p2=pb2+P'B2=32;

又「ZBPC=BPA=135,

・••/PP'£=BP'-aBP'P=1355°=90；即△PP'是直角三角形.

pc'Pyg.

考点：

1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.

3.如图1,以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作OO,交对角线AC于点E.

（1）图1中，线段AE=;

（2）如图2,在图1的基础上，以点A为端点作ZDAM=30,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉，使RtAADM绕点A逆时针旋转（如图3）,设旋转角为a（00

O交于点F.

①当a=30寸，请求出线段AF的长；

②当a=60B,求出线段AF的长；判断此时DM与。

O的位置关系，并说明理由；

③当a=。

时，DM与。

O相切.

国1图2图3街用图

【答案】

（1）2%?

（2）①2②2F,相离③当a=90时，DM与。

O相切

【解析】

（1）连接BE,•「AC是正方形ABCD的对角线，/BAC=45°,△AEB是等腰直

角三角形，又AB=8,AE=4<2;

/NAD=30°,/DAM=30°,故可得/OAM=30°,

ZDAM=30；贝U/OAF=60；又/OA=OF,..△OAF是等边三角形，1.OA=4,，AF=OA=4;

・•・当DM与。

O相切时，点D在。

O上，故此时可得a±NAD=90°.

点睛：

此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30。

角的直角

三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度.

4.如图，已知AB为。

。

直径，D是？

C的中点，DE，AC交AC的延长线于E,OO的切线交AD的延长线于F.

（1）求证：

直线DE与。

O相切；

（2）已知DG，AB且DE=4,。

。

的半径为5,求tan/F的值.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）2.

【解析】

试题分析：

（1）连接BGOD,由D是弧BC的中点，可知：

ODLBC；由OB为。

。

的直径，可得：

BC±AC,根据DELAC,可证ODLDE,从而可证DE是。

。

的切线；

（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan/F的值.

试题解析：

解：

（1）证明：

连接OD,BC,•「□是弧BC的中点，..OD垂直平分BC,•「AB为。

。

的直径，.-.AC±BC,，OD//AE./DE±AC,..OD,DE,「OD为。

。

的半径，..DE是。

。

的切线；

（2）解：

「D是弧BC的中点，dcdb，，/EAD=/BAD,/DE±AC,DG±AB且

DE=4,.-.DE=DG=4,/DO=5,•.GO=3,•.AG=8,tanZADG=-=2,「BF是。

O的切

4

线，・・./ABF=90°,，DG//BF,•.tan/F=tan/ADG=2.

AG,DG的长是

点睛：

此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出解题关键.

5.阅读：

圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：

同弧或等弧所对的圆周角相等,

【答案】

（1）无数；

（2）（0,26*7）或（0,273万）；（3）0

3

【解析】

试题分析：

（1）已知点A、点B是定点，要使/APB=30°,只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60。

即可，显然符合条件的点P有无数个.

（2）结合

（1）中的分析可知：

当点P在y轴的正半轴上时，点P是

（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的

坐标.

（3）由三角形外角的性质可证得：

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆

外角.要/APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得/APB最大的点P,由此即可求出m的范围.

试题解析：

解：

（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心，AC为

半径作OC,交y轴于点P1、P2.

在优弧AP1B上任取一点P,如图1,则/APB=1/ACB=1X60=30°,.•・使/APB=30°的点P22

有无数个.

故答案为：

无数.

（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG±AB,垂足为G,如图1.

••点A（1,0），点B（5,0）,OA=1,OB=5,，AB=4.

.•点C为圆心，CGLAB,••.AG=BG=1AB=2,•.OG=OA+AG=3.

2

.△ABC是等边三角形，.-.AC=BC=AB=4,，CG=VACAG

=.4—2

=2J3,•••点C的坐标为（3,2J3）.

过点C作CD,y轴，垂足为D,连接CP2,如图1.二•点C的坐标为（3,273）,

•.CD=3,OD=273.

.「Pi、巳是。

C与y轴的交点，/ARB=/AP2B=30°.

•.CP2=CA=4,CD=3,，DP2=^~32^=".

••点C为圆心，CD）±P1P2,•.PiD=P2D=",Pi（0,273+77）,P2（0,2^/3-

百）.

（3）当过点A、B的。

E与y轴相切于点P时，/APB最大.

理由：

可证：

/APB=/AEH,当/APB最大时，/AEH最大.由sinZAEHk—得.当AE

AE

最小即PE最小时，/AEH最大.所以当圆与y轴相切时，/APB最大.•「/APB为锐角，

「.sin/APB随/APB增大而增大，.

连接EA,彳EHI±x轴，垂足为H,如图2.,「OE与y轴相切于点P,「.PE±OP.

.EHXAB,OPXOH,•./EPO=/POH=/EHO=90；，四边形OPEH是矩形，..OP=EH,

2

PE=OH=3,EA=3.sinZAPB=sinZAEH=—,-m的取值氾围是0m

3

点睛：

本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有一定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.

1

6.如图1,延长。

。

的直径AB至点C,使得BC=—AB,点P是。

。

上半部分的一个动点

2

（点P不与A、B重合），连结OP,CP.

（1）/C的最大度数为；

（2）当。

。

的半径为3时，4OPC的面积有没有最大值？

若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2,延长PO交。

。

于点D,连结DB,当CP=DB时，求证：

CP是。

。

的切线.

图1度n

【答案】

（1）30。

；

（2）有最大值为9,理由见解析；（3）证明见解析.【解析】

试题分析：

（1）当PC与。

。

相切时，/OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；

（2）由4OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，4OPC的面积最大，当

P01OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到/A=/C,得到

CO=OB+OB=AB推出△AP®4CP0,根据全等三角形的性质得到ZCPO=ZAPB,根据圆周

角定理得到/APB=90,即可得到结论.

试题解析：

（1）当PC与。

。

相切时，/OCP最大.如图1,所示：

OP21

.sin/OCP==—=—,••/OCP=30

OC42

・••/OCP的最大度数为30°,

故答案为：

30。

；

（2）有最大值，理由：

•••△OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，

而点P在。

。

上半圆上运动，当PO>±OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，

也就是高为半径长，最大值Saopc=1OC?

OP=1X6X3=922

（3）连结AP,BP,如图2,

OAOD

在AOAP与AOBD中，AOPBOD,AOAP^AOBD）,•.AP=DB,

OPOB

•••PC=DB,，AP=PC

•,PA=PC/A=ZC,

•.BC=1AB=OB,.1.CO=OB+OB=AB

2