最新初升高数学测试题含答案.docx
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最新初升高数学测试题含答案
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绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学试题
本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120
分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写
在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号；
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效；
3．非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对
应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔；
4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．
第一卷（选择题，共36分）
一．选择题（本大题共
12个小题，每小题
3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（
）
（A）23
6
（B）
2
2
2
（C）
32
62
（D）
2
3
aa
a
x
y
ab
aa（a0）
（xy）
（ab）
a
|x
1|
4
2．方程组
2x
的解是（
）
x2
3
（A）－1
（B）3
（C）－1或3
（D）－5或3
3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视
图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界）
，若小明想同时看到该建
筑物的三个侧面，他应在（）
（A）P区域（B）Q区域
（C）M区域（D）N区域
4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段
时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像
是（）
N
PM
Q
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
①
第3题图②
距学校的距离
O（A）时间O（B）时间O（C）时间O（D）时间
5．南山中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”精品文档
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的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过
C、D得票之和，候选人A、
C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列
他们依次为（
）
（A）A、D、C、B
（B）D、B、A、C
（C）D、A、B、C
（D）A、D、B、C
6．南山中学数学建模小组的同学们在研究
1
1
1
1
15、12、10这三个数的倒数时发现：
15
10
，
12
12
他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若
x、y、2
（x、y均为正整数）是一组
调和数，则x、y的值（
）
（A）有一组
（B）有两组
（C）有三组
（D）有无数组
7．如下图所示，在
Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，
垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cos
EFD的值等于（
）
（A）3
（B）4
（C）3
（D）
7
5
5
4
4
B
D
F
C
D
E
A
C
E
F
A
B
第7题图
第8题图
8．如上图所示，在正方形
ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且使得△AEF为等边三角
形，则△AEF与梯形ABCF的面积之比为（
）
（A）31
（B）
3
2
（D）423
（C）
2
3
9．已知函数y
x，y
x2和y
1
在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论：
x
①如果1
a
a2，那么
0
a
1
；
a
1
②如果a2
a
，那么a
1；
a
③如果1
a2
a，那么
1
a
0
；
a
1
④如果a2
a时，那么a
1
．
a
则其中正确结论的序号为（
）
（A）①④
（B）②③
（C）①②③
（D）①②④
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y=x2
y
入口
y=x
1
y=x
Ox
第9题图
12
3
45
6
第10题图
10．上右图为一个污水净化塔内部，
污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，
流向如图中箭头所示，
每一次水流流经三角形两腰的机会相同，
经过五层净化后流入底部的六个
出口中的一个．下列判断：
①六个出口的出水量相同；
②2号出口的出水量与
5号出口的出水量相同；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为
1∶5∶10；
④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，
则更换最慢的一个三角形材枓使用的时
间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的
16倍．
其中，正确的判断个数是（
）
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
11．如下图所示，在
Rt△ABC中，∠A=2∠B，CD为∠C的内角平分线，若
AD=2，则CD等于
（
）
（A）23
（B）3
（C）26
（D）6
C
A
D
E
B
D
A
B
O
C
第11题图
第12题图
12．如上图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若
AE=3，CD=25，则BC等于（
）
（A）6
（B）8
（C）10
（D）12
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第二卷（非选择题，共
114分）
二．填空题（本大题共
6个小题，每小题
4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．按下图程序进行操作，规定：
程序运行从
“输入一个x”到“结果是否>10”为一次操作．若操作
进行三次才停止，则
x的取值范围是___________．
输入
x
×3
-2＞10
是
停止
否
第13题图
14．如下图所示，直线l1、l2、l3、l4
及m1、m2、m3、m4
分别平行，且S
=100,S
20，
四边形ABCD
四边形EFGH
则S四边形PQRS=__________．
l1
l2
l3l4
A
P
D
m4
E
H
m3
S
Q
F
G
m2
B
R
C
m1
第14题图
第15题图
15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为
1cm的圆形，使之恰好围成一个
圆锥，则圆锥的高为________________．
16．小明每天下午5点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提
前1小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了20分钟到家．则小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸．
17．已知关于x的一元二次方程
x2
a2
2a2x（m1）
0对任意的实数
a均有实数根，
则实数m的取值范围是____________．
18．如右图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知
DAC
60
，边CD上有一
点S，满足DS
AD．线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM．给出以下结论：
SC
AC
①SM//BD与SM//CL等价；
L
②若CM
AC，则点L在AD的延长线上；
MO
AO
③若SM
1
，则AD=DL；
D
S
C
CL
3
M
④若SSCM
k，则方程x2
3kx1
0
无等根．
O
SBCM
A
B
第18题图
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其中，正确的结论有
____________（填所有正确结论的序号）．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
）
19．（本题共2个小题，每小题
8分，共16分）解答下列各题：
（1）计算：
（1）1
|sin301|
（1）106
38
（2014
）0；
3
（2）计算：
201421
2013
20142
2014
2．
20142
4028+1
2015
2016
20．（本小题满分12分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都
能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润
分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为
27元和36元．某日，唐老板进
A款式服装
35
件，
B款式服装25件，怎样分配给每个店铺各
30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于
950
元的
前提下，唐老板获取的总利润最大？
最大总利润是多少？
21．（本小题满分12分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；
（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“南山”的概率P1；
（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“南山”的概率为P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论．
y
22．（本小题满分12分）如右图所示，已知点
A（4，0），点B
D
k
（k1）在
在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数
y
x
A
第四象限的图像只有一个公共点．
又一次函数y
x
2k的图像C
O
x
与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形
ABCD的面积最
B
小时，求k的值及面积的最小值．
第22题图
23．（本小题满分12分）如右图所示，在平面直角坐标系xOy
中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），
C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与边
OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．（Ⅰ）若点M（0,11），求直线l的函数表达式；
3
（Ⅱ）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE
分成面积相等的两部分？
若存在，求出M的坐标；否则，说明理由．
y
AB
C
D
O第23题图Ex
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24．（本小题满分12分）如下图所示，O1与O2外切于点O，直线l分别与O1、O2外切
于点A、B，分别与x轴、y轴交于点M（23,0）、C（0,2）．
（Ⅰ）求O1的半径长；
（Ⅱ）在直线l上找一点P，使得MO1P与MOB
相似，并求出点P的坐标．ly
A
C
B
O1OO2Mx
第24题图
25．（本小题满分14分）如下图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数y1x2的图
4
像交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E．
（Ⅰ）当A点的横坐标是－1时，证明AM=AE；
（Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求OCODACBD的值；
（Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
y
D
B
M
A
C
O
x
EN
l
第25题图
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绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）
题号123456789101112答案CBBCDBADACDC
1．C．显然（a3b）2a6b2正确，故选择C．
|x
1|4
x
或
x
14
x
或
x
3
2．B．
14
5
2
（x
3）（x
1）
0
或
x3，故选择B．
x
2x
3
x
x
3
1
3．B．显然P、N区域只能给看到一面，M区域只能看到两面，Q区域可以看到三面，故选择B．
4．C．开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减．途中因交通堵塞停留了一
段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择C．
5．D．用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票，由条件可得
db
abcd，于是
acbd
（bd
c）
b
c
d,
b
c，a
b
（b
da）d,
a
d，于是a
d>b
c，故选择D．
6．B．由已知得
2
1
1
x
2y
．当y=1时，x
2
（舍去）；当y=2时，x
2；当y=3
y
x
2
4y
3
时，x
6，所以x、y的值有两组，故选择
B．
7．A．由EF
CD，于是当CD与AB垂直时，EF最小．
3
此时EFD
CDF
BDE
BAC，于是cosEFD
cos
BAC
，故选择A．
5
8．D．令BE
x，则AE
AF
EF
1x2,DF
x,CF
CE
1
x（0
x
1）
．
由EF2
CF2
CE2得：
1
x2
2（1
x）2,x2
3．
SAEF
3（1
x2）
4
4
23，故选择D．
于是
2
x
S梯形ABCF
2
9．A．由图像知，当0
a
1时，1
a
a2成立，当a
1时，a2
a
1，当
1
a
0
1
a
1
a
时，a2
a
，当
a
1
时，a2
a，故选择A．
a
a
1
5
10
10
5
1
10．C．若进水量为
1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为：
，
32
32
32
32
32
32
于是②③正确．水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左
（或最右）的三
角形，流经最上面的三角形的水量为
1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为
1，
C．
16
于是④正确．故选择
11．D．如图，令AB边的高线为CF，在CB上作一点E，使得CA=CE，联结DE，则△CAD≌精品文档
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△CED，所以CEDCAD2B,BDEB,BEDEAD2．
过E作EG⊥BD交BD于G，由ABC30得EG=1，
于是BGGD3,AB223,CA13．
在△ACF中可得CF
33,AF
1
3
，FD
33
．
2
2
2
在△CDF中可得CD
CF2
DF2
6，故选择D．
C
E
BGDFA第11题图
12．C．如图，延长
BA、CD交于点F．由条件可得
BD是等腰△
BCF的角
F
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