4.
已知：
如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两
点到l的距离不相等）
要求：
在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：
作点B关于直线l
的对称点B′，连接B′A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：
根据对称的性质知
l为线段BB′的中垂线，由中垂
线的性质得：
PB=PB′，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB′︱值最大，从而转化为模型3.
典型例题1-1
如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分
别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，
点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连
接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理
（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.
【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴
于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：
x=﹣6，∴点A的坐标
为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴CD为△BAO的中位线，
∴CD∥x轴，且CD=12AO=3，
∵点D′和点D关于x轴对称，∴O为DD′的中点，
D′（0，-1），∴OP为△CDD′的中位线，∴OP=12CD=32，
∴点P的坐标为（﹣，0）．在Rt△CDD′中，
CD′=CD2DD2=3242=5，即PC+PD的最小值为5.
【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变
化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD′的解析式，再求其与x轴的交点P的坐标.
典型例题1-2
如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，1），点B
的坐标为（，﹣2），点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最
大时点P的坐标为_________，|PA﹣PB|的最大值是_________.
【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=﹣x对称点C，
连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣x的交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，
再用两点之间的距离公式求此最大值.
【解答】作A关于直线y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC
的方程为y=﹣54x﹣54，与直线y=﹣x
联立解得交点坐标
P为（4，﹣4）；此时|PA
﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，最大值
BC=（231）2
（2）2
=241；
【小结】“两点一线”大多考查基本模型
2和4，需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时，点P的坐标为（）
A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）
变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为__________.
变式训练1-3
如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.
拓展模型
1.
已知：
如图，
A为锐角∠MON外一定点；
要求：
在射线
OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
AP+PQ的值最小.
解：
过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此
时，AP+PQ最小；
理由：
AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当
AQ⊥ON时，AQ最小.
2.
已知：
如图，
A为锐角∠MON内一定点；
要求：
在射线
OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
AP+PQ的值最小.
解：
作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON
于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
理由：
由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，
只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型1
3.
已知：
如图，
A为锐角∠MON内一定点；
要求：
在射线
OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
△APQ的周长最小
解：
分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对
称点A2，连接A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点
P和点Q即为所求，此时△
APQ周长最小，最小值
即为线段A1A2的长度；
理由：
由轴对称的性质知
AP=AP，AQ=AQ，△APQ的周
1
2
长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.
4.已知：
如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；
要求：
在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形
APQB的周长最小
解：
作点A关于直线OM的对称点A′，作点B关于直线
ON的对称点B′，连接A′B′交OM于P，交ON于Q，
则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的
最小值即为线段AB和A′B′的长度之和；
理由：
AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA′,将
QB转化为QB′，当A′、P、Q、B′四点共线时，
PA′+PQ+QB′的值最小，即PA+PQ+QB的值最小.
5.搭桥模型已知：
如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与m垂直）
要求：
在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.
分析：
PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点
Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即
为所求，此时AP+PQ+BQ最小.
理由：
易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，
当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即
AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.
6.已知：
如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a
（a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
要求：
确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：
PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，
使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
将点A沿着平行于l的方向，向右移至A′，使
AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q，在l上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即A′B+a
理由：
易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′，
当A′、Q、B三点共线时，QA′+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.
7.已知：
如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a
（a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
要求：
确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
分析：
AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于l的对称点，转化为上述模型3
解：
作A点关于l的对称点A′，将点A′沿着平行于l
的方向，向右移至A′′，使A′A′′=PQ=a，连接A′B
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
A′B+AB+PQ，即A′′B+AB+a
典型例题2-1
如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、
AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．
【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E，再过
点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借
助等面积法和相似可求其长度.
【解答】作点B关于AC的对称点E，再过点E作EN⊥AB于N，则BM+MN=EM+MN，
其最小值即EN长；∵AB=10，BC=5，
∴AC=AB2BC2=55，
等面积法求得AC边上的高为105=25，∴BE=45，
55
易知△ABC∽△ENB，∴，代入数据解得EN=8．
即BM+MN的最小值为8．
【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作
定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.
典型例题2-2
如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，点M、N分别
是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）
A．B．C．6D．3
【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交
OA、OB于
M、N，此时△
PMN周长最小，其值为
CD长；根据对称性连接
OC、OD，
分析条件知△
OCD是顶角为
120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边
CD.
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，
CH=OH=，∴CD=2CH=3．
即△PMN周长的最小值是3；
故选：
D．
【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的
等腰三角形，是解题的关键，也是难点.
典型例题2-3
如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线
为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.
【分析】
（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；
（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为
直线
OB与
EF的交点，结合
OB的解析式可得
P点坐标；
【解答】
（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，
∴OD=2?
tan60°=2，∴A（﹣2，2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，
DB=62=4B42
（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，
∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,
∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，
∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，
∴P（2，）．
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边
形）的方法，转化为基本模型.
典型例题2-4
如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F
的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、
F两点的坐标．
【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的
解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.
【解答】
（1）由旋转的性质可知：
OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐
标是（0，2），D点的坐标是（4，0），
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
4a-2b+c=0
由题意，得16a+4b+c=0
c=4
解得a=-，b=1，c=4，
∴所求抛物线的解析式为y=-2；
（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-2的对称轴为x=1，
将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点
A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式
为y=-，当x=1时，y=，∴点E的坐标为（1,），点F的坐标为（1,）．
【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.
变式训练2-1
几何模型：
条件：
如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．
问题：
在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：
作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）
模型应用：
（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动
点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB=．
（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小
值是．
（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别
是线段
AB和
BC上的动点，则
PE+PF的最小值是
．
（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点
AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是
G是边
．
CD边的中点，点
E．F分别是
变式训练2-2
如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边
和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.
变式训练2-3
如图，已知直线l
∥l
，l、l
2
之间的距离为
8，点P到直线l
的
1
2
1
1
距
离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=．
变式训练2-4
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在
x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺
时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过
（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
中考真题
1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的
距离之和最短？
小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，
3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．
2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△
ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
A．（0，
）
B．（0，
）
C．（0，2）
D．（0，
）
3.如图，在矩形
ABCD中，AB=5，AD=3，动点
P满足
S△PAB=1S矩形ABCD，则点
P到
A、B两点距
3
离之和
PA+PB的最小值为（
）
A．
B．
C．5
D．
4.已知抛物线
y=
x2+1具有如下性质：
该抛物线上任意一点到定点
F（0，2）的距离与到
x
轴的距离始终相等，如图，点
M的坐标为（
，3），P是抛物线
y=
x2+1上一个动点，
则△PMF周长的最小值是（
）
A．3B．4
C．5
D．6
5.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，
则四边形ABCD周长的最小值为（）
A．B．C．
D．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE
的最小值为（）
A．B．C．5D．
7.如图，Rt△ABC中，∠
BAC=90°，AB=3，AC=6
，点
D，E分别是边
BC，AC上的动点，
则DA+DE的最小值为
．
8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的
垂直平分线，若点D在
EG上运动，则△
CDF周长的最小值为
．
9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是
上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（
BC边的一个三等分点，
）
P是对角线
AC
A．B．C．D．
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分
别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．6
11.
如图，在平面直角坐标系中，
反比例函数y=
（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC
的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为
10．若动点P在x轴上，则PM+PN
的最小值是（
）
A．6B．10C．2D．2
12.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC
的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF
的最小值是．
13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，
连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴
于点Q，问：
是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC
相似？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在
（1）的条件下，
①证明：
AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当
（3）在
（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点
S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；
P（m，3）在直线l上，动点Q（m，
0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．
16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点
C，过A，C两点的二次函数
2
y=ax+4x+c
的图象
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