小学数学知识点梳理.docx
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小学数学知识点梳理
小学数学知识点梳理
数学是一门实用价值很高的学科,是人们生活、劳动、学习必不可少的工具;是人们对客观世界的定性把握和定量刻画,它有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值。
所以,数学的学习内容应是现实的,有意义的,富有挑战性的。
数学中应用题的解析,是对生活实际问题抽象成数学模型,让学生进行解释进而应用于实践的过程。
学习数学之前,我们要记住数学的精神:
“凡事不含糊”、“一是一,二是二”的数学精神。
小学数学由哪几部分组成?
(数的认识、数的运算、量的计算、比和比例、等式和方程、空间与图形、应用题、统计)
第一章 数的认识
1、数的意义:
整数、自然数、小数、分数和百分数
(1) 负整数
(2) 自然数
自然数和0都是整数。
最小的自然数为0,没有最大的自然数,自然数是无限的。
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体没有,用0表示。
0也是自然数。
(3)小数(有限小数、无限小数)
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
(4)分数(真分数、假分数、带分数)
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(0作分母时无意义。
)
(5)百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
2、十进制计数法
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。
● 数学知识链接:
古代印度人创造阿拉伯数字后,大约到公元7世纪的时候,这些数字传到了阿拉伯地区。
到13世纪时,意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》,在这本书里,他对阿拉伯数字做了详细的介绍。
后来,这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲,欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传人的,所以便把这些数字称为阿拉伯数字。
以后,这些数字又从欧洲传到世界各地。
它现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。
第二章 数的运算
中国目前所知的最早的一部数学著作。
《算数书》,1983年12月在湖北省江陵县张家山汉初墓葬中出土。
初步了解了上面各种数,接下来就就是数之间的运算了。
数学其实就是一种游戏。
(1)比较大小
整数、小数、分数、百分数之间的比较大小是难点。
要注意变成容易比较的数后再进行比较。
0.3、1/2、0.4
(2)加、减、乘、除 乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如 3 × 3=32
● 数的运算
在数的运算中有两个重要方面,掌握了这两个方面,数的运算就很容易了。
(1)四则运算定律
1. 加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。
2. 加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。
3. 乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4. 乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5. 乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6. 减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
(2) 运算顺序
1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3. 没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算 先算乘、除法,后算加减法。
4. 有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5. 第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
6. 第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
有几个注意点:
(1)最容易出错的地方,在去掉括号时容易错。
,如a—(b+c)=a—b+c等
(2)除和除以的区别:
都表示两个数相除但不相同,按先读的不同。
10÷5可读成10除以5,也可以读成5除10,应特别注意先读除数的读法。
第三章 量的计算
计量的定义:
广义的理解是有关测量知识的整个领域。
计量在历史上称之为“度量衡”,随着生产和科学技术的发展,现代计量已远远超出“度量衡”的范围。
现有长度、热学、力学、电磁学、无线电、光学、声学等计量专业,已形成了一门独立的学科。
——计量学。
计量是支撑社会、经济和科技发展的重要基础。
每年的5月20日确定为“世界计量日”。
一 长度
(一) 长度是一维空间的度量。
(二) 长度常用单位* 公里(km)* 米(m)* 分米(dm)* 厘米(cm)* 毫米(mm)* 微米(um)纳米,皮米,飞米,阿米
(三) 单位之间的换算*1毫米 =1000微米 *1厘米 =10 毫米 *1分米 =10 厘米 *1米 =1000 毫米 *1千米=1000 米
二 面积
(一)面积,就是物体所占平面的大小。
对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
(二)常用的面积单位:
* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米
(三)面积单位的换算:
*1平方厘米 =100 平方毫米 *1平方分米=100平方厘米 *1平方米 =100 平方分米 *1公倾 =10000 平方米 *1平方公里 =100 公顷
三 体积和容积
体积,就是物体所占空间的大小。
容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
常用单位
1 体积单位:
* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米
2 容积单位 升 * 毫升
四 质量
(一)质量,就是表示表示物体有多重。
(二)常用单位* 吨 t* 千克 kg* 克 g
(三)常用换算:
* 一吨=1000千克 *1千克=1000克
五 时间
(一)常用单位:
世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒
(二)单位换算:
*1世纪=100年 *1年=365天 平年 * 一年=366天 闰年
* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天
* 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天
* 平年2月有28天 闰年2月有29天 *1天=24小时 *1小时=60分 * 一分=60秒
六 货币
(一)货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。
货币是价值的一般代表,可以购买任何别的商品。
(二)常用单位:
* 元 * 角 * 分
(三)单位换算 *1元=10角 *1角=10分
学习这一类问题,必须牢记各单位之间的进率,和它们各自的换算关系。
灵活运用,还要经常用来解决实际生活中的问题,
单位之间的换算,一定要注意单位统一后才能计算。
● 知识链接:
在天文学中有一个很大的长度单位:
光年,它是指光在真空状态下1年所走过的距离,所以叫光年。
1光年=9.4653X1012km
但是习惯上说光年是距离单位。
第四章 比和比例
1比的意义和性质
(1) 比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比的后项不能是零。
分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)比的应用
(1)按比例分配:
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
例如:
我们公司的奖金分配。
(2)比例尺
图上距离:
实际距离=比例尺
要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:
在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
我们在学习时一定要扎扎实实地掌握求比例尺、图上距离和实际距离的方法。
2 比例的意义和性质
(1) 比例的意义:
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
比和比例的区别:
比是表示两数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
第五章 等式与方程
(一)方程和方程的解
1方程:
含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。
方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才成立。
2 方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
3、解方程:
解方程,求方程的解的过程叫做解方程。
● 数学故事:
难以想像的快速增长
在古代印度,有个非常爱玩的国王。
一次,一个人发明了一种有64个格子的棋,国王玩得很高兴,主动提出要给以重赏。
国王问那个人想要什么赏赐,那人说他不求别的,只求车王赏他一些米。
他说:
“请陛下在棋盘的第一个格子里放下一粒米,在第二个格里放下三粒米,在第三个格子里放下4粒米,然后在以后的每个格子里都放下比前一个格子多1倍的米。
我只要求得到这64个格子里的米。
”
国王心想,这点米算什么呀,就立即派人去取。
可是结果却让国王大吃一惊,原来那人所要求的米可以覆盖整个地球,全世界要几百年才可能生产出这么多米。
国王根本无法满足他的要求。
想知道那人要的米究竟有多少粒吗?
告诉你吧,是64个2相乘再减去1,一共是否8446744073709551615粒,这可是个巨大的难以想象的数字。
如果你们班里有人不了解这个秘密,可以和他开个玩笑。
他很可能同意今天给你1分钱,明天给你2分钱,后天给你4分钱,如此下去,可是,他肯定想不到在第20天,他就得给你1万多元了。
第六章 空间与图形
一、线和角
二、平面图形(长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形)
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。
用字母∏表示。
● 祖冲之与圆周率
圆周率,一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。
它定义为圆形之周长与直径之比。
它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。
为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
π(读作“派”) 圆周率
南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶),给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7。
他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。
为什么要继续计算π
其实,即使是要求最高、最准确的计算,也用不着这么多的小数位,那么,为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢?
第一,用这个方法就可以测试出电脑的毛病。
如果在计算中得出的数值出了错,这就表示硬体有毛病或软体出了错,这样便需要进行更改。
同时,以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争,科技也能得到进步,从而改善人类的生活。
就连微积分、高等三角恒等式,也是由研究圆周率的推动,从而发展出来的。
第二,数学家把π算的那么长,是想研究π的小数是否有规律。
背诵圆周率最多的人:
日本人原口证(于2006年10月3日至4日背诵圆周率小数后第100,000位数,总计背诵时间为16个小时半)
截至20日14时56分,西北农林科技大学硕士研究生吕超用24小时零4分钟,不间断无差错地背诵圆周率至小数点后67890位,从而刷新由一名日本学生于1995年创造的无差错背诵圆周率至小数点后42195位的吉尼斯世界纪录。
生于1982年11月的吕超,2001年由湖北省枣阳市考入西北农林科技大学生命科学2005年被推荐免试攻读本校的应用化学硕士学位。
扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
圆上AB两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。
学习平面图形这一节,首先要熟记各种平面图形的特征,每一个平面图形都有自己的特点,只有熟记心中,才能正确区分各种图形。
平面图形的主要计算,它的周长和面积
周长(C):
围成一个图形的所有边长的总和,叫做这个图形的周长。
常用单位,厘米(cm)、分米(dm)、米(m)等。
面积(S):
物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。
常用单位:
平方厘米(cm2)、平方分米(dm2)、平方米(m2)等
三、立体图形
同时要牢记几种立体图形的侧面积、表面积、体积的公式,
对于立体图形,需要学会求它的表面积、体积、容积
表面积(S表):
物体表面面积的总和,叫做物体的表面积。
要注意是否有盖。
体积(V):
物体所占空间的大小,叫做物体的体积。
体积通常用V表示。
常用单位有立方厘米、立方分米、立方米。
容积:
箱子、仓库等所能容纳物体的体积,叫做它们的容积或容量。
常用的容积单位是升、毫升。
● 体积和容积的异同点:
容积的计算方法跟体积的计算方法相同,但要从容器的里面量长、宽、高,而计算体积要从物体的外面量长、宽、高。
计量体积用体积单位,计量容积除了用体积单位,还可以用容积单位升和毫升。
两个概念的区别在于主体上,体积是指自身所占的空间;溶剂是指容纳其他物体的体积。
注意观察一个物体时,物体的位置与观测点有关,观测点不同,物体的位置就不同。
观察时,一般视线应垂直于被观察的物体。
站的位置不同,看到物体的画面可能是不同的。
观察的位置越高,看到的范围越大;观察的距离越远,看到的目标越小。
第七章 应用题
在小学数学教学中是一个重点,同样也是一个难点.它全面考查了学生的基础知识,也考查了学生综合与分析能力.学生掌握了解答应用题的基础知识,也学习了分析应用题的思考方法,是不是学生就能很顺利地解答应用题了呢?
正如一个游泳运动员掌握了游泳的理论,而不下水刻苦练习,同样是游不出好成绩的.游泳是如此,解应用题也是如此.因此,加强训练是提高学生解答应用题的能力不可缺少的一环。
1、思维训练,学会思考,越来越聪明
2、解决实际生活问题
以反映周围生活中常见的数量关系和各种实际问题,促使学生把所学的数学知识和实际生活联系起来,从而既了解数学的应用,有培养解决简单的实际问题的能力
小学阶段的应用题归结起来也就有几类问题:
平均数应用题、归一问题、归总问题、和差问题、和倍问题、行程问题、植树问题、年龄问题、植树问题 等。
解一道题,80%的工作是审题捋思路,20%的工作是列式求解
● 小学数学应用题解题技巧指导思想:
一教是为了不教————培养自学的解题能力;二寻出一种学习方法——四点三程学习方法。
四点:
1、读(读题)2、思(想题,分析题) 3、用(用什么方法)4、创(找出规律)三程:
(三个过程){1、发现问题;2、分析问题;3、解决问题)
1、指导学生“多读”
“书读百遍,其义自见”。
因此,通过要求学生多读来帮助他们“悟”出题意,应用题中的关键词、句,好比是文章中的重点段落,它能反映出数量关系的核心,抓住了它就等于抓住了解题的关键。
2、图示法
“最重要的知识是关于方法的知识”基于这一认识,应用题教学中我注重学生学习方法的指导。
小学生擅长于直观形象思维,针对这一特点,我让学生通过画图来帮助理解题意。
当然画图不仅只画线段图,只要能帮助理解题意画什么样的图都可以。
图例的运用体现了数形结合的思维,其目的在于促进小学生抽象思维与形象思维的协同,既培养了小学生的作图能力和良好的作图习惯,又能更直观地显示出条件和问题之间的数量关系,帮助学生思维。
通过画图和观察,让学生形象直观的明白各数量之间的关系
● 哥德巴赫猜出想
二百多年前,有一位德国数学家名叫哥德巴赫。
他发现,每一个不小于6的偶数,都可以写成两个素数(也叫质数的和),简称“1+1”。
例如:
6=3+3 100=3+97 1000=3+997
8=3+5 102=5+97
哥德巴赫对许多偶数进行了检验,都说明这个推断是正确的。
以后有人对偶数也进行了大量的验算。
从6开始一个一个地一直验算到3亿3千万个数,都表明哥德巴赫的发现是正确的。
但是,自然数是无限的,是不是这个论断对所有的自然数都正确呢。
还必须从理论上加以证明,哥德巴赫自己无法证明。
1742年,他写信给当时有名的数学家欧拉,请他帮忙证明。
后来欧拉回信说他认为哥德巴赫的猜想是正确的,他是他也没办法证明。
因为没有证明,不能成为一条规律。
从此,“哥德巴赫铺想”成了一道世界有名的难题。
有人称它为“数学皇冠上的明珠”,它好比是数学上的一座高峰。
谁能攀登上这座高峰呢?
二百多年来,许许多多数学家都企图给这个猜想作出证明。
我国数学家陈景润在对“哥德巴赫猜想”的研究上取得突破性进展,居于世界领先地位。
很多人一生就因为研究了一个数学问题成为了著名的数学家。
(祖冲之)