南京航空航天大学结构力学课后习题答案第6章.docx

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南京航空航天大学结构力学课后习题答案第6章

6-1题6—1图所示平面桁架，各杆Ef相同，求在载荷

解：

（1）解除约束：

系统静不定度为K=1,故解除1-2杆的约束，代之以约束力X1,如图6-1a所示。

（2）内力分析：

求<

>状态下的内力Np、单位状态<<1>>下的内力N1，内力分别如图6-1b,6-1c所示。

（3）求典型方程中的影响系数S11和载荷系数△1P

P作用下桁架各杆的内力。

、T1=

N；li

Ef

Y2）Ef

SJe-ia

N1Npli

Efi

1Pd

2Ef

（4）求解多余约束力Xi：

由典型方程•3p

=0解得:

X1

—-■：

1P/•：

；11

Pd2Ef

2Ef（32.2）d

=（3-2、.2）P:

0.172P

（5）用叠加原理N=NP•N1X1求出各杆的内力

N12=（3-2：

2）P;N13二N25=（2-2）P;

r~f—

N14二N24=（2—2.2）P;N34=N452-1）P

图6]c

mfi-lrl

p

6-2题6-2图所示平面桁架，杆长AD=DC=BC=1m,AC杆和

BD杆的截面积Aac=ABD=200mm,Aad=Adc=ABC=150mm,各杆材料均相同，E=200KN/mm2，当C点受垂直载荷P=100KN

作用时，求该结构各杆的内力。

解：

（1）解除约束：

系统静不定度为K=1,故解除CD杆的约束，

代之以约束力X1,如图6-2a所示。

（2）内力分析：

求<

>状态下的内力Np、单位状态<<1>>下的内力口，内力分别如图6-2b,6-2c所示。

（3）

（5）

求典型方程中的影响系数Sii和载荷系数△ip

433

80

:

0.1150

NiNpli

EfT

43-9

480

（4）求解多余约束力Xi：

由典型方程rip

Xi=—■：

ip/-ii

=0解得:

480p

80

43.3

用叠加原理求出各杆的内力:

72-433

66

P3.755

=NpNiXi

Nc_d=3.755KN

如图6-2d所示。

6-3题6-3图所示为固定在水平面上的刚架结构，在点3有垂直拉杆支持，设刚架构件弯曲

刚度EI=i000Ncm2，扭转刚度GJ=800Ncm2，垂直拉杆3-4的抗拉刚度为EA=iON,求图示载荷作用下拉杆的轴力和刚架构件i-2、2-3的弯矩和扭矩（作内力图）。

解：

（i）解除约束：

系统静不定度为K=i,故解除3-4杆的约束，

代之以约束力Xi,如图6-3a所示。

（2）内力分析：

图6-3

求<

>状态下的内力Np,如图6-3b所示：

n34=0Mt=-2p（g-Z）

mZ12=2P（I12—X）mP12=-2Pl23

单位状态<<1>>下的内力N1，如图6-3c所示:

N34=1M；23=（123

11

MZ12=-（l12-X）MX12=l23

Li3

图6-3c

（3）求典型方程中的影响系数

S11和载荷系数△1P

M12ds

EJ

+〒『MMsJGJp

叫）I34

EA34

l23

EA343EJ

1

l23（MX23

Fz

EJ

b（M；12）2dx

-l12

1

（MX12

）2dx

EJ

32

I12I/23400603

十=r

3100031000

+

3EJ3GJr10

603

+心0=760

800

—叽：

M"MPds

-M1kMPkds

EAi

EJ

GJ.：

■

EA34

1P

l23MX23MX23dz.

EJ

1P1P

l12MZ12MZ12dxl12MX12M

EJ

X12MZ12dx

GJ.：

■

l3

=_2P（』

3EJ

li2

+

3EJ

）「2P（注+注

3GJ,3100031000

l』23

60290、

+）=-1440P

800

图6-3d

（4）求解多余约束力Xi：

由典型方程Xr-1^^1P=0解得:

X"--卄/仆=1440P/760：

1.895P

（5）用叠加原理求出各杆的内力，

N=NPNX

N34=Xi=1.895P

Mx23（2P-Xi）（G-Z）一0.105P（G-Z）

Mz12=（2P—XJ（l12—X）=0.105P（l12—X）M：

12=「0.105Pl23

6-4

为常数。

解:

如图6-3d所示。

用力法求解题6-4图所示静不定刚架的内力（作弯矩图），元件剖面的抗弯刚度EI

因为对称系统在对称载荷作用下，对称面内仅有对称内力。

所以如图6-4a：

取四分

之一刚架，由平衡条件可得：

PPl

X2;X^X1;X4=0

24

即系统为一度静不定系统。

作<

>和<<1>>状态下的弯矩如图

¥丄l=2—=丄

M；ds

EIEIEI

M1MPds

El

Pxdx

2

E

6-4b所示:

图6-4

PI

16EI

—p=「1='

图6-4b

由典型方程•U1P=0解得:

Pl2EI

16EIl

Pl

16

由叠加原理求弯矩如图6-4c所示。

题6-5图所示为半径为

在载荷P作用下求剖面内力。

R的刚性圆环，剖面弯曲刚度为EI,

解：

整体为研究对象，地面支反力为P,竖直向上。

如图6-5a,

以水平和竖直为对称轴，在对称载荷P下，对称面仅有对称内

力，并考虑力和弯矩的平衡可知系统静不定度为

K=1，代之以约

M1=1

Mp=pR（1_cos旳

则得:

：

R

2EI

EI

PR（1一cos，）Rdd

EI

兀2

（-1）PR2

2

2EI

P.'J

―A|I一f

PR-

粧阳M..■[i-

■Z£*

图6-5b

图6-c

图6-6a

由Xrw*p=0得：

X1=」1p/、：

11=一（孑—1）PR故内可由叠加原理求得：

P

X厂o；Yj-2

P3兀cos日

MR（1-cos旳X1=（）PR

2222

弯矩如图6-5c所示。

6-6题6-6图所示为固定起落架的机身隔框的计算模型，它受由

起落架传来的集中弯矩m和机身蒙皮的平衡剪流qm-的作用，求

2兀R2框剖面内力（绘出弯矩图）。

设框剖面EI为常数。

解：

如图6-6a在对称面上切开，利用对称性，简化为一度静不定系统。

作<

>和<<1>>状态下的弯矩图如图6-6b所示。

；Mp=qR2（®—sin®）（0兰®兰兀）

M1=Rsin®（0兰®

由典型方程Xin•.*p=0解得:

弯矩图如图6-6c所示。

图6-7

由叠加原理可知，弯矩M为:

2

M二MpX1M1二qR（「-2sin）（0空「二）

6-7题6-7图所示为一圆形机身隔框，在集中力P作用下,

p

机身蒙皮对隔框的支反剪流为qsin•'。

框剖面El为常数,

兀R

求框剖面的内力，作弯矩图。

解：

如图6-7a所示，沿对称面切开，利用对称性可知，系统静

不定度为2。

求<

>、<<1>>和<<2>>状态下的弯矩,

PSin二R2（1-cos（:

-旳加

0^R

PR,sin「

---（1-cos）

兀2

=R（1-cos:

）

图6-7a

图6-7b

图

2^

（b）

X2

2R

EP2『EI

如图6-8a-3所示。

如图6-8b-1在对称面切开，利用对称性，取四分之一隔框。

由平衡条件可知:

1

-X1；X3=—m+X1R，系统简化为一度静不定。

2

求<

>和<<1>>状态的弯矩图如图6-8b-2所示。

a/2

I

由典型方程Xim•角p=0解得:

2

Mikds

6-10题6-10所示的刚架处于水平面位置，在3点受垂直载荷P作用，求内力。

构件

剖面的弯曲刚度为EI，扭转刚度为GJ。

解：

（1）解除约束：

系统静不定度为K=6,故解除节点2处的约束,代之以约束力X、Y、Z、Mx、My,Mz

（2）内力分析：

M：

34=P（a-Z）

单位状态<<1>>下的内力Ni，如图6-10b所示:

MY24=（2a—Z）

YY

Mzi2二—（2a-x）M_（2a-Z）

MY12--（2a-x）

MxMx

MX12=-1MX24-1

MY12--1MY24=1

MZM2二「1MM2；=1

（3）

求典型方程中的影响系数

Sj和载荷系数△

iP

「•ii

Mi2ds

M：

ds

「•ij

=0..ji

■"■UP

=Z

8a

-'11

-'21

-'31

EJ

3EI

=0;

=0;

=0;

：

GJ

MiMjds

EJ

MiMpds

EJ

-'22

-'32

2a2

EI

-'12

16a

3EI

2a

EI

-'13

MikMjkds

GJ

=0;

MikMPkds

=0；

-'14

=0;

15

2a

EI

；"16

「52=0;

2a

EI

'23=0；

「24

2a2

EI

、：

25=0；〔26

2a2

EI

8a

3EI

、：

43

「53

"'63

34

=0;

35

=0;

2a2

EI

"44

「54

EI

=0;

=0;

「64

=0;

2a2

EI

2a

GJ

「65

=0;

4a

EI

36

=0

=0;

:

i46

56

=0

2a

2a

EI

GJ

A

B

P

点作用有集中力P、框缘作用有分布剪流q）。

兀R

解：

由对称系统在反对称载荷下仅有反对称内力可知，对称面上仅有剪力X1、X2，如图6-11a所示。

由

6-11题6—11图为等剖面圆形刚架，半径为弯曲刚度为EI，求图示载荷作用下剖面的弯矩（

R,剖面

图6-11

卩

5a3a2

-1P=0；=2P=-P6EI；=3P=0；=4P=P2EI；=5P=0；=6P=0

（4）求解多余约束力X,Y,乙MX,My,Mz：

6

由典型方程7Xjjr：

iP=0（i=1,2,...,6）解得:

j4

水平和竖直方向的力平衡方程可知:

Xi=02qcosTRd日=qR

pP-

X22qcosrRd二一qR=

（1）qR

2022

（2）内力分析:

.■-Z2：

:

.2

M一=

（1）qRRsin:

-qqR（1一cos（:

-v））dv-（）qRsin:

-

弯矩图如图6-11b所示。

6-12利用对称条件求题6-12图所示桁架结构的

内力。

各杆面积如图所示。

解：

系统为对称系统，在反对称载荷P作用下，对称面上仅有反对称内力，又因为13为二力杆，

故N13=0;系统简化为静定系统如图6-12a所示,

N12cos45°+N14cos45"=0

P+N14cos45°-N12cos45"=0

解得:

2

P；

2

综上所述：

<242

N”2P；NHN—2P

6—13题6—13图所示为一半圆环并处于垂直平面位置，其比重为?

N/cm（单位长度上的重量），试利用对称性求半圆环在自重作用下的弯矩。

解：

由对称系统在反对称载荷作用下仅有反对称内力可知，

对称面上仅有剪力X1存在，如图6-13a所示。

对A点取矩，由M=0得：

图6-9b

图6-12a

图6—12

图6-13图6-13a

XiR二

2JR2cos如-氓2二X1=JR

2

-cos：

）dv-「'Rcos：

二

qN/ClU

rt

图6-14

故弯矩M一.为

M一=氓2sin：

；i':

R2（cosv

如图所示6-13b。

6-14题6—14图所示为平面刚架结构，剖面弯曲刚度为EI，利用对称性求结构的内力，作内力图（弯矩图、轴力图和剪力图）。

解：

由对称系统在反对称载荷作用下仅有反对称内

力可知，对称面上仅有剪力X1存在，如图6-14a所示。

对A点取矩，由

M=0得:

a

X1^=0qxdx

X1

qa

2

作内力图如图6-14b所示。

Xi

qN/cm

图6-14a

qs/2

ER

qa/2

軸力图

qa/2

剪力图

图6-14b

a,剖面弯曲qN/cm作用下的

6—15题6—15图所示为直角等边的角形刚架，处于水平面位置。

其边长为刚度为EI，扭转刚度为GJ，并有关系式GJ=EI。

求在均匀分布垂直载荷内力（弯矩和扭矩）。

解：

因为对称系统在对称载荷作用下，对称面内仅有对称内力。

在A点处切开，系统静不

定度为4。

如图6-15a所示。

分别作出<

>、<<1>>、<<2>>、<<3>>和<<4>>状态的内力图如图6-15b所示。

求解影响系数如下：

12Mpqxp2

-■11

'■21

a3

3EI

2a2；

一■;

2EI

.:

冷3=°；■■14=°；

、、2a2；

—>

2EI

2a

El

°；

<31=°；

■:

『32=°；■:

『33

空；「34=°；

El

、：

41=°；

-■42=0；43=0；

2a

44

El

1P

=°；2P=°；3P

3

qa

3

qa

6EI

6E「

代入典型方程中可解得：

22

X-°；X-°；X-12；X-12

4P

图6-16b

于是由叠加原理可求出结构内力，弯矩图扭矩图如图

6-16有一圆环垂直支持在地面上，如题6-16图所示。

设线密度pN/cm（单位长度上的重量），剖面面积为f,弯,曲刚度为EI半径为R。

求环在自重作用下的内力。

解：

如图6-16a所示，在对称面切开，利用对称性系

统简化为2度静不定系统。

求<

>、<<1>>和<<2>>状态下的弯矩如图6-16b所示:

22二

Mp=°JRsin^dJ-「R（1—cos：

）（°_：

_-）

MP-;?

R2sinrdv-_】R2（sin-sin-：

>）d^

=很2（13cos：

）：

：

R2sin：

（2；；、一M）（）

2

M1=R（1-cos：

）

M2=-1

求影响系数得:

列力图

—+5）卅'tina

6-17

题6—17图为平面薄壁结构，已知载荷P=10000N，各杆图6-1

长a=20cm，各杆截面均为f=0.5cm2,板厚为t=0.13cm，弹性模数—E=7X106N/cm2，且有关系式E/G=2.6。

求结构的内力和节点2的

垂直位移。

解：

如图切开3-4杆，求<

>和<<1>>状态的内力

如图6-17a所示：

求影响系数：

其中Ef=10Gt

图6-17

-11=7

J

Ef

q；F8a222

"GT3Ef3Gt

N1NPl

Ef

qgpF

Gt

5PaP6

2EfG^Gt

代入典型方程X1r「.；1P=0解得：

Xj=-Sp/'F9P=8181.82N

11

由叠加原理求内力N=NP+X1N1，如图6-17b所示。

6-18试求题6-18图所示各平面薄壁结构的内力图。

各杆截面面积均为f，板厚为t,

杆长均为a,材料弹性常数为E、G。

（1）题6—18（a）（b）图中，有关系式Gta/Ef=1。

（2）题6—18（c）（d）图中，P=10000N,f=1cm2,a=100cm,t=0.1cm,E/G=2.6。

解：

（1）（a）.如图切开5-8杆，求<

>和<<1>>状态的内力如图6-18a-1所示：

求影响系数：

其中Ef二Gta

券一I左

S6-18a-2

i/2

VJ-U*-2

'■11-'

N：

l、、.q：

F_2a1_3EfGt-EfGCGt

--1P=''

N^pI、.q^FPaP

EfGt一2Ef一2Gt

代入典型方程X仁仆：

二1P=0解得：

.1

X11-“p/「IP

6

由叠加原理求内力N=Np•X1N1，如图6-18a-2所示。

（b）.如图切开1-2杆，求<

>和<<1>>状态的内力如图6-18b-1所示:

求影响系数：

其中Ef=Gta

-'■ii=''

N：

l

Ef

q2F

8a

12

-ip='

N1NPl

Ef

Gt

Ef

Gt

Gt

+Z

qgpF

15Pa

21P

Gt

6Ef

Gt

6Gt

代入典型方程X1「1•厶仲=0解得：

X1=—•：

：

1p/■、11P

11P1124

由叠加原理求内力N=NPX1N1，如图6-18a-2所示。

（2）（c）.如图切开5-8杆的，求<

>、<<1>>和<<2>>状态的内力如图6-18C-1所示:

求影响系数：

1IH0W

iocoon丽罚茂

图618C2

P

3：

3

图618C1

1

■:

>11='

-22二7

22

Nil、qiF2a1

~Ef"GT_EfGt

22

N2I、.q2F2a1

EfGt3Ef2Gt

代入典型方程

"宀屈宀"°解得:

X1”21+X2°22+心2P=0

取1=1135N

X2=304N

由叠加原理求内力N=NpX1N1X2N2，如图6-18c-2所示。

（d）.如图切开5-8杆的，求<

>、<<1>>和<<2>>状态的内力如图6-18d-1所示:

求影响系数：

图6-18d-1

=E

N；l

q：

F

2a

1

+Z

——

+

Ef

Gt

Ef

Gt

=Z

N；l

q；F

2a

1

Ef

Gt

Ef

Gt

='21

=11

N1

N2I

-

qqF

N1NPl

qgpF

'■12

•：

；22

5a

12Ef

1

2Gt

Ef

3Pa

Gt

2Ef

Gt

N2NPI

Ef

q2qpF

2Pa

代入典型方程

Gt

3Ef

+X2612+A1P

X1》21+X2》22+^2P

0解得:

=0

■^X^-9029N

、X2=-5134N

由叠加原理求内力N=NPX1N1X2N2，如图6-18d-2所示。