二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx
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二次函数最全的中考二次函数知识点总结
.
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分二次函数基础知识
相关概念及定义
二次函数的概念：
一般地，形如
2
yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函
数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定
义域是全体实数．
二次函数
2
yaxbxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二次函数各种形式之间的变换
2
二次函数yaxbxc
2
用配方法可化成：
yaxhk
的形式，其中
h
b
2a
2
4acb
，.
k
4a
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
22
yax；②yaxk
；③
2
yaxh；
2
④yaxhk
；⑤yax2bxc.
二次函数解析式的表示方法
一般式：
2
yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；
顶点式：
2
ya（xh）k（a，h，k为常数，a0）；
两根式：
ya（xx1）（xx2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交
点式，只有抛物线与x轴有交点，即
函数解析式的这三种形式可以互化.
2
b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次
二次函数
2
yax的性质
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
y随x的增大而增大；x0时，y
a向上0，0y轴x0时，
0
随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．
a向下0，0y轴
0
x时，y随x的增大增大而减小；x0
0
时，y随x的增大而增大；x0时，y有最
大值0．
二次函数
2
yaxc的性质
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质
a向上0，cy轴
0
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随
x的增大而减小；x0时，y有最小值c．
a向下0，cy轴
0
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随
x的增大而增大；x0时，y有最大值c．
二次函数
2
yaxh的性质：
a的符
号
开口方向顶点坐标对称轴性质
a向上h，0X=h
0
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的
增大而减小；xh时，y有最小值0．
.
.
a0向下h，0X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的
增大而增大；xh时，y有最大值0．
二次函数
2
yaxhk的性质
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a0向上h，kX=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随
x的增大而减小；xh时，y有最小值k．
a向下h，kX=h
0
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随
x的增大而增大；xh时，y有最大值k．
抛物线
2
yaxbxc的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
a的符号决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴：
平行于y轴（或重合）的直线记作
x
b
2a
.特别地，y轴记作直线x0.
2
b4acb
顶点坐标坐标：
（，）
2a4a
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、
开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
2
抛物线yaxbxc
中，a,b,c与函数图像的关系
二次项系数a
二次函数
2
yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大
小．
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴就是y轴；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴就是y轴；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
.
.
⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法：
y
2
ax
bx
c
a
x
b
2a
2
4ac
4a
2
b
2
b4acb
，∴顶点是（，）
，对称轴是
2a4a
直线
x
b
2a
.
2
配方法：
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk
（h,k），对称轴是直线xh.
的形式，得到顶点为
运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平
分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
用待定系数法求二次函数的解析式
2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.一般式：
yaxbxc
2
顶点式：
yaxhk
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
交点式：
已知图像与x轴的交点坐标
x、x2，通常选用交点式：
yaxx1xx2.
1
直线与抛物线的交点
2得交点为（0,c）.y轴与抛物线yaxbxc
2有且只有一个交点（h,ah2bhc）.与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc
2的图像与x轴的两个交点的横坐标
抛物线与x轴的交点:
二次函数yaxbxc
x、x2，是
1
对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元
二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.
平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则
横坐标是ax2bxck的两个实数根.
2bxca
一次函数ykxnk0的图像l与二次函数y0的图像G的交点，由
ax
方程组
ykxn
2
yaxbxc
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
2与x轴两交点为00
Ax，
1，，Bx，抛物线与x轴两交点之间的距离：
若抛物线yaxbxc
2
由于
2bxc
x、x2是方程ax0的两个根，故
1
b
xx,xx
a
c
a
AB
x
1
x
2
x
1
x
2
2
x
1
x
2
2
4xx
12
2
b4c
2
b
4ac
aaaa
二次函数图象的对称:
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于x轴对称
2
yaxbx关c于x轴对称后，得到的解析式是
2
yaxbxc；
2
yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是
2
yaxhk；
关于y轴对称
.
.
2
yaxbx关c于y轴对称后，得到的解析式是
2
yaxbxc；
2
yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是
2
yaxhk；
关于原点对称
2
yaxbx关c于原点对称后，得到的解析式是
2
yaxbxc；
2
yaxh关k于原点对称后，得到的解析式是
2
yaxhk；
关于顶点对称
2
yaxbx关c于顶点对称后，得到的解析式是
2
yaxbxc
2
b
2a
；
2
yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是
2
yaxhk．
关于点m，n对称
2
yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是
2
yaxh2m2nk
总结：
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永
远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，
习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物
线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图象的平移
平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
2
yaxhk，确定其顶点坐标h，k；
⑵保持抛物线
2
yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位
y=ax2y=ax2+k
向右（h>0）【或左（h<0）】
平移|k|个单位
向右（h>0）（h<0）【或左】
平移|k|个单位
向上（k>0）【或下（k<0）】
平移|k|个单位
向右（h>0）【或左（h<0）】
平移|k|个单位
y=a（x-h）2
向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位
y=a（x-h）2+k
平移
规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
三点式。
1，已知抛物线y=ax
2+bx+c经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a（x-1）
２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
顶点式。
1，已知抛物线y=x
2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=4（x+a）
2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
交点式。
1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,（5,0）,求抛物线y=（x-a）（x-b）的解析式。
2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=
定点式。
1
2
a（x-2a）（x-b）的解析式。
125a
1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线22yxxa经过x轴上一定点Q，直线
22
y（a2）x2经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y=x
2+（2m-1）x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
.
.
3，抛物线y=ax
2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
平移式。
22+k,求
1，把抛物线y=-2x向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a（x-h）
此抛物线解析式。
2，抛物线yx2x3向上平移,使抛物线经过点C（0,2）,求抛物线的解析式.
距离式。
1，抛物线y=ax
2+4ax+1（a﹥0）与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=mx
2+3mx-4m（m﹥0）与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解
析式。
对称轴式。
1、抛物线y=x
2-2x+（m
抛物线的解析式。
2-4m+4）与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求
2、已知抛物线y=-x
3
2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA=
4
OC，求此
抛物线的解析式。
对称式。
1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。
AD交y轴于E，将三角形
ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2，求与抛物线y=x
2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
切点式。
1，已知直线y=ax-a
2（a≠0）与抛物线y=mx2
有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2，直线y=x+a与抛物线y=ax
2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x
2+2（m+1）x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x
析式。
2+（m+1）x+3解
2、已知抛物线y=（a+2）x
3、已知抛物线y=（m+1）x
2-（a+1）x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
2+（m+2）x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
y2bxcabc是常数，a，特别注意a不为零
ax
一般地，如果特（,,0）
那么y叫做x的二次函数。
2bxcabca
yax（,,是常数，0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
抛物线的主要特征：
x
b
2a
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
2
（2）求抛物线yaxbxc
与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点
D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三
点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次
.
.
连接五点，画出二次函数的图像。
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
口诀-----一般两根三顶点
（1）一般一般式：
2bxc（a,b,ca0）yax是常数，
（2）两根当抛物线yax2bxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2bxc0有实
根
2bxcaxxxx
x和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax
（1）
（2），二次函数
1
y
2
ax
bx
c
可转化为两根式（）（）
yaxx1xx。
如果没有交点，则不能这样表示。
2
a的绝对值越大，抛物线的开口越小,a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
（3）三顶点顶点式：
ya（xh）2k（a,h,k是常数，a0）
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
x
b
2a
时，
2
4acby
最值。
4a
如果自变量的取值范围是
x1xx，那么，首先要看
2
b
2a
是否在自变量取值范围x1xx2内，
若在此范围内，则当x=
b
2a
时，
2
4acb
y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范
4a
围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
2
x时，y最大axbx2c，当xx1
x
22
22
时，y最小axbx1c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，yaxbx1c
最大，11
当
2
x时，yaxbx2c
x最小。
22
☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
y当a0时
ax
2
x（y轴）（0,0）
0
y
开口向上
2x0（y轴）（0,k）
axk
yxh（h,0）
axh
2
当a0时
yaxh
2xh（h,k）
开口向下
k
.
.
2
yaxbxcx
b
2a（
b
2a
2
4acb
，）
4a
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
二次函数
函数
2bxcabca
yax（,,是常数，
0）
a>0a<0
y
y
图像
0x0x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=
b
2a
，顶点坐标是（
b
2a
，
（2）对称轴是x=
b
2a
，顶点坐标是（
b
2a
，
4ac
4a
2
b
）；
4ac
4a
2
b
）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<
b
2a
时，y随x
（3）在对称轴的左侧，即当x<
b
2a
时，y随
性质的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
x>
b
2a
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