导数平均变化率与瞬时变化率.docx
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导数平均变化率与瞬时变化率
【同步教育信息】
一.本周教学内容:
导数——平均变化率与瞬时变化率w
二.本周教学目标:
1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵.2、通过函数图象直观理解导数的几何意义.
三.本周知识要点:
（一平均变化率
1、情境:
观察某市某天的气温变化图
t（d
20
2、一般地,函数f（x在区间[x1,x2]上的平均变化率2121
（（fxfxxx--
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.
（二瞬时变化率——导数
1、曲线的切线
如图,设曲线c是函数（yfx=的图象,点00（,Pxy是曲线cPQ,当
点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的
割线PQ的斜率为
PQ
k=00（（fxxfxx+∆-∆,即当0→∆x时,00（（fxxfxx+∆-∆无
限趋近于点P的斜率.
2、瞬时速度与瞬时加速度
1瞬时速度定义:
运动物体经过某一时刻（某一位置的速度,叫做瞬时速度.2确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:
要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时,物体在这段时间内的运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度.
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s（t,也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,t0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是:
位移为Δs=s（t0+Δt-s（t0（Δt称时间增量
平均速度
ttsttsts∆-∆+=∆∆=
（（00
根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间
足够短时,平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t0到t0+Δt,这段时间是Δt.时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt
→0时,位移的平均变化率00（（
sttstt+∆-∆无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体
在t=t0同样,计算运动物体速度的平均变化率00（（
vttvtt+∆-∆,当Δt→0时,平均速度00（（
vttvtt+∆-∆无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t=t0时的瞬时加速度.
3、导数
设函数（xfy=在（a,b上有定义,0（,xab∈.若x∆无限趋近于0时,比值
xxfxxfxy∆-∆+=∆∆（（00无限趋近于一个常数A,则称f（x在x=0x处可导,并称该常
数A为函数（xfy=在0xx=处的导数,记作'
0（fx.
几何意义是曲线（xfy=上点（（,00xfx处的切线的斜率.
导函数（导数:
如果函数（xfy=在开区间,（ba内的每点处都有导数,此时对于每一个,（bax∈,都对应着一个确定的导数（'xf,从而构成了一个新的函数（'xf,称这个函数（'xf为函数（xfy=在开区间内的导函数,简称导数,也可记作'y.
【典型例题】
例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积t
tV1.025（-⨯=（单
位:
3
cm,计算第一个10s内V的平均变化率.
解:
在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为
（10（0
2.55
0.25100
10
VV
--≈
=--3
cm即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3
cm.
例2、已知函数（21fxx=+,（2gxx=-,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数
（fx及（gx的平均变化率.
解:
函数（fx在[-3,-1]上的平均变化率为
（1（3
2
（1（3ff---=---
（gx在[-3,-1]上的平均变化率为
（1（3
2
（1（3gg---=----
函数（fx在[0,5]上的平均变化率为
（5（0
2
50ff-=-
（gx在[0,5]上的平均变化率为
（5（0
2
50gg-=--
例3、已知函数2
（fxx=,分别计算函数（fx在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.
解:
函数（fx在区间[1,3]上的平均变化率为
（3（1
4
31ff-=-
函数（fx在[1,2]上的平均变化率为
（2（1
3
21ff-=-
函数（fx在[1,1.1]上的平均变化率为
（1.1（1
2.1
1.11ff-=-
函数（fx在[1,1.001]上的平均变化率为
（1.001（1
2.001
1.0011ff-=-
例4、物体自由落体的运动方程s=s（t=21
gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8
m/s2.求t=3这一时段的速度.
解:
取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=21g（3+Δt2-21g·32=2g
（6+
ΔtΔt,平均速度
21=
∆∆=
tsvg（6+Δt当Δt无限趋于0时,v无限趋于3g=29.4m/s.
例5、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动（位移单位:
cm,时间单位:
s,
（1当t=2,Δt=0.01时,求ts
∆∆.（2当t=2,Δt=0.001时,求ts
∆∆.
（3求质点M在t=2时的瞬时速度.
分析:
Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,ts
∆∆即平均速度,当Δt越小,求出的ts
∆∆越接近某时刻的速度.
解:
∵ttttttsttsts∆+-+∆+=
∆-∆+=∆∆32（3（2（（22=4t+2Δt∴（1当t=2,Δt=0.01时,ts
∆∆=4×2+2×0.01=8.02cm/s.（2当t=2,Δt=0.001时,ts
∆∆=4×2+2×0.001=8.002cm/s.
（3Δt→0,（4t+2Δt=4t=4×2=8cm/s
例6、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P（1,2处的切线的斜率,以及切线的方程.
解:
设Q（1+x∆,2+x∆,则割线PQ的斜率为:
22（1（1（11（11
fxfxxx+∆-+∆+-+=
∆∆2（22
xxxx∆+∆==∆+∆0,x∆→∴斜率为2
∴切线的斜率为2.
切线的方程为y-2=2（x-1,即y=2x.
【模拟试题】
1、若函数f（x=2x2+1,图象上P（1,3及邻近点Q（1+Δx,3+Δy,则xy
∆∆=（
A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.2ΔxDs®0时，Dt为2、一直线运动的物体，从时间t到t+Dt时，物体的位移为Ds，那么Dt（）A.从时间t到t+Dt时，物体的平均速度；B.在t时刻时该物体的瞬时速度；C.当时间为Dt时物体的速度；D.从时间t到t+Dt时物体的平均速度23、已知曲线y＝2x上一点A（1，2），求
（1）点A处的切线的斜率.
（2）点A处的切线方程.4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线方程．5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s（t）＝t2（位移单位：
m，时间单位：
s），求小球在t＝5时的瞬时速度7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：
cm，时间单位：
s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆
【试题答案】1、B2、Bf（1+Dx-f（12（1+Dx2-2×12=DxDx3、解：
（1）Dx®0时，k＝=4Dx+2（Dx2=（4+2Dx=4Dx∴点A处的切线的斜率为4.
（2）点A处的切线方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2f（-2+Dx-f（-2（-2+Dx2+1-（-22-1=DxDx4、解：
Dx®0时，k＝=-4Dx+（Dx2=（-4+Dx=-4Dx∴切线方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.Dy5、解：
Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，Dx＝2Δx+16∴Dx®0时，y′|x＝3＝16s（5+Dt-s（5（5+Dt2-52==DtDt6、解：
Dt®0时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10m/s.∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10m/s.s（2+Dt-s（22（2+Dt2+3-（2×22+3=DtDt7、解：
Dt®0时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s【励志故事】遭窃的罗斯福罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他．罗斯福回信说：
“谢谢你的来信，我现在心中很平静，因为：
第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命．第二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部．第三、最值得庆幸的是：
做贼的是他，而不是我．”
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