概率论复习题汇编.docx

概率论复习题汇编.docx

《概率论复习题汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论复习题汇编.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

概率论复习题汇编

一、设A,B,C是三事件,且P（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AB）=P（BC）=0,P（AC）=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。

解：

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（CA）+P（ABC）

∵P（AB）=P（BC）=O∴P（ABC）=0

∴至少有一个发生的概率

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（CA）+P（ABC）=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8

二、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所给定颜色如数得到订货的概率是多少?

解：

设A=“订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆”。

则A的基本事件数为，基本事件总数为=24310。

则所求概率为

[小结]对古典概型问题，关键是找出其基本事件总数，以及所求事件包含的基本事件数。

同时要注意，两者要在同一个样本空间中计算所求事件的概率。

三、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率

将3个球随机地放入4个杯子中去，易知共有43种放置法，以Ai表示事件“杯子中球的最大个数为i”，i=1，2，3。

解：

A3只有当3个球放在同一杯子中时才能发生，有4个杯子可以任意选择，于是∴ 

A1只有当每个杯子最多放一个球时才能发生。

∴N（A1）=4·3·2=A43

∴ 

又∵A1∪A2∪A3=Ω，且，i≠j

∴P（A1）+P（A2）+P（A3）=1 

四、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

  P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病|孩子得病}=0.5，

  P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4，

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．

解：

以A记事件“孩子得病”，以B记事件“母亲得病”，以C记事件“父亲得病”，按题意需要求。

已知P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|BA）=0.4，由乘法定理得

五、将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2：

1．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少?

解：

以D表示事件“将信息A传递出去”，则表示事件“将信息B传递出去”，以R表示“接收到信息A”，则表示事件“接收到信息B”，按题意需求概率P（D|R）．已知，，且有，由于，得知，。

由贝叶斯公式得到

六、设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回）．试求

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。

解：

  记Ai={从第i箱中（不放回抽样）取得的是一等品}，i=1，2．

  B={从第一箱中取零件}，则

（1）由题知

∴由全概率公式有

（2）由题知所求概率为P（A2|A1）

∴由全概率公式有

P（A1A2|B）表示在第一箱中取两次，每次取一只产品，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率，故

  同理，因此有

七、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?

解：

以Ai表示事件“第i人能译出密码”，i=1，2，3．已知P（A1）=，，，则至少有一人能译出密码的概率为

  p=P（A1∪A2∪A3）

  =P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）．

  由独立性即得

八、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少?

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少?

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少?

（4）至少有1个设备被使用的概率是多少?

解：

设X表示同一时刻被使用的设备个数，则X～b（5，0.1）．

（1）P{X=2}=C52（0.1）2（1-0.1）3=0.0729.

（2）P{X3}=P{X=3）+P{X=4}+P{X=5}=C53（0.1）3（1-0.1）2+C54（0.1）4（1-0.1）+C55（0.1）5=0.00856．

（3）P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954.

（4）P{X1}=1-P{X=0）-1-（1-0.1）5=0.40951.

九、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，X表示取出的3只球中的最大号码，求X的概率分布．

解：

随机变量X的所有可能值为3，4，5，且

  所以，X的概率分布为

X

3

4

5

P

0.1

0.3

0.6

10、设随机变量X的分布函数为

（1）求P{X<2},P{0X≤3},P{2

（2）求X的概率密度fx（X）．

解：

（1）P{X2}=P{X≤2}-P{X=2}=F

（2）=ln2;

  P{0X≤3}=P{X≤3}-P{X≤0}=F（3）-F（0）=1-0=1;

（2）

11、某种型号器件的寿命X（以小时计）,具有概率密度如图,从这批晶体管中任选5只,则至少有2只寿命大于1500h的概率

解：

任取一只，其寿命大于1500小时的概率为

任取5只这种产品，其寿命大于1500小时的只数用X表示，则X～b（5，）．故所求的概率为

十二、设X～N（3,22）,

（1）求P{2X≤5},P{|X|＞2},P{X＞3};

（2）确定c，使得P{X＞c}=P{X≤c}；（3）设d满足P{X＞d}0.9，问d至多为多少？

（1）因X～N（3，22），故有

（2）由P{X＞c}=P{X≤c}，得

  1-P{X≤c}=P（X≤c），即，于是

  （3）P{X＞d}0.9，即，故 

  又因分布函数Φ（x）是一个不减函数，故有：

，因此

  d≤3+2×（-1.282）=0.436即d至多为0.436

十三、一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从参数为u=160，σ（σ＞0）的正态分布，若要求P{120X≤200}≥0.80，允许σ最大为多少？

解：

X～N（160，σ2），今要求

  即要求，应有

  即允许σ最大为31.20

十四、设随机变量X在（0，1）内服从均匀分布．

（1）求Y=eX的概率密度；

（2）求Y=-2lnX的概率密度．

解：

X的概率密度为

（1）当X在（0，1）上取值时，Y在（1，e）上取值，所以

  当y≤1时，FY（y）=P{Y≤y）=0;

  当ye时，FY（y）=P{Y≤y）=1;

  当1

  FY（y）=P{Y≤y）=P{eX≤y）=P{X≤lny）=FX（lny）=lny.

（2）当X在（0，1）上取值时，Y在（0，+∞）上取值，所以

  当y≤0时，FY（y）=P{Y≤y）=0;

  当y＞0时，

15、设随机变量（X，Y）的概率密度为：

（1）确定常数k．

（2）求P{X1,Y3}

  （3）求P{X1.5}．

  （4）求P{X+Y≤4}

（1）由,得

  所以k=1/8 

（2）

  （3）

  （4）

十六、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）确定常数c；

（2）求边缘概率密度．

（1）  

（2）

  注在求边缘概率密度时，需画出（X，Y）的概率密度f（x，y）≠0的区域，这对于正确写出所需求的积分的上下限是很有帮助的．首先应根据概率密度的性质求出参数c，然后再求边缘概率密度

十七、设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

  求随机变量Z=X+Y的概率密度．

解法（i） 利用公式

  十八、设X,Y是相互独立的随机变量，X～π（λ1），Y～π（λ2）．证明Z=X+Y～π（λ1+λ2）

由于X～π（λ1）,Y～π（λ2），故

  又X,Y相互独立，因此，

  即Z=X+Y～π（λ1+λ2）.

十九、设（X，Y）的分布律为

（1）求E（X），E（Y）；

（2）设Z=Y/X，求E（Z）；（3）设Z=（X-Y）2，求E（Z）．

（1）

（2）

  （3）

  注 可先求出边缘分布律，然后求出E（X），E（Y）．如在（3）中可先算出Z=（X-Y）2的分布律：

Z

0

送人□有实用价值□装饰□1

4

在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。

在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。

9

价格便宜些□服务热情周到□店面装饰有个性□商品新颖多样□pk

（3）优惠多0.1

0.2

0.3

0.4

  然后求得

1、现代文化对大学生饰品消费的影响二十、设随机变量X1，X2的概率密度分别为

（1）求E（X1+X2），E（2X1-3X22）．

（2）又设X1，X2相互独立，求E（X1X2）．

解：

  ，今u=x/θ,得到

  故，于是

（1）由数学期望的性质，有

（2）因X1，X2相互独立，由数学期望的性质，有

二十一、设随机变量（X，Y）的分布律为

验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．

解：

先求出边缘分布律如下：

X

“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等，都是平日里不常见的。

店长梁小姐介绍，店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等，五彩缤纷，流光异彩。

按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类，其造型更是千姿百态：

珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等，美不胜收。

全部都是进口的，从几毛钱一个到几十元一个的珠子，做一个成品饰物大约需要几十元，当然，还要决定于你的心意。

“碧芝”提倡自己制作：

端个特制的盘子到柜台前，按自己的构思选取喜爱的饰珠和配件，再把它们串成成品。

这里的饰珠和配件的价格随质地而各有同，所用的线绳价格从几元到一二十元不等，如果让店员帮忙串制，还要收取１０％～２０％的手工费。

-1

0

1

尽管售价不菲，但仍没挡住喜欢它的人来来往往。

这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。

在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。

可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。

而这也许正是自己制造所能带来最