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华图网校数量关系精心编制
第四章数量关系
目录
第一讲:
代入排除法……………………………………………………………2
第二讲:
十字交叉法……………………………………………………………3
第三讲:
数列与平均数(上)…………………………………………………3
第四讲:
数列与平均数(下)…………………………………………………4
第五讲:
工程问题………………………………………………………………5
第六讲:
浓度问题………………………………………………………………6
第七讲:
牛吃草问题……………………………………………………………7
第八讲:
边端问题………………………………………………………………8
第九讲:
行程问题(上)………………………………………………………9
第十讲:
行程问题(下)……………………………………………………10
第十一讲:
几何问题…………………………………………………………11
第十二讲:
年龄问题…………………………………………………………12
第十三讲:
容斥原理(上)…………………………………………………13
第十四讲:
容斥原理(下)…………………………………………………14
第十五讲:
排列组合(上)…………………………………………………15
第十六讲:
排列组合(下)…………………………………………………16
第十七讲:
统筹问题…………………………………………………………17
第十八讲:
比赛问题…………………………………………………………18
第十九讲:
抽屉原理…………………………………………………………19
第二十讲:
时钟问题…………………………………………………………20
第二十一讲:
做差数列………………………………………………………21
第二十二讲:
做商数列、多重数列…………………………………………22
第二十三讲:
分数数列、幂次数列…………………………………………23
第二十四讲:
递推数列………………………………………………………24
第一讲:
代入排除法
课前自测
【自测题1】(浙江2011-57)一个三位数的各位数字之和是16。
其中十位数字比个位数字小3。
如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大495,则原来的三位数是多少?
()
A.169B.358C.469D.736
【自测题2】(广东2011-8)三个运动员跨台阶,台阶总数在100-150级之间,第一位运动员每次跨3级台阶,最后一步还剩2级台阶。
第二位运动员每次跨4级,最后一步还剩3级台阶。
第三位运动员每次跨5级台阶,最后一步还剩4级台阶。
问这些台阶总共有()级?
A.119B.121C.129D.131
知识点
1、“代入排除法”是数学运算题型当中最重要的技巧,这种方法结合题干与选项双向判断,是处理行测“客观单选题”最为行之有效的方法。
2、“代入排除法”广泛运用在多位数问题、不定方程(组)问题、同余问题、和差倍比问题、年龄问题、行程问题、周期问题等等题型。
3、“代入排除法”还可以利用数字的基本特性来完成,这就要求广大考生掌握基本的数字特性,特别是对倍数的判断。
例题精讲
【例1】(吉林2011甲级-6,吉林2011乙级-6)大小两个数的和是50.886,较大数的小数点向左移动一位就等于较小的数,则较大的数为()。
A.46.25B.46.26C.46.15D.40.26
【例2】(上海2011B-61)韩信故乡淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年,楚汉相争。
有一次,韩信率1500名将士与楚军交战,战后检点人数,他命将士3人一排,结果多出2名;命将士5人一排,结果多出3名;命将士7人一排,结果又多出2名,用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。
已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个,则该数字是()。
A.868B.998C.1073D.1298
【例3】(浙江2011-55)甲、乙各有钱若干元,甲拿出1/3给乙后,乙再拿出总数的1/5给甲,这时他们各有160元。
问甲、乙原来各有多少钱?
()
A.120元200元B.150元170元C.180元140元D.210元110元
【例4】(四川事业2011-6)水果店运来一批石榴和苹果,其中苹果的重量占总重量的9/20,苹果比石榴少200千克,运来石榴()千克。
A.2000B.1800C.1100D.900
【例5】(重庆村官2011-92)三个连续自然数的积是其和的21倍,则这三个数中最小的是()。
A.3B.4C.7D.12
【例6】(河南选调2011-41)小李到商店买了一个书包和一个羽毛球拍,在付钱时,他漏看了羽毛球拍价位个位上的“0”,准备付158元。
售货员说:
“您看错了单位,应该付410元才对。
”那么一个书包的单价是多少元?
A.158B.130C.98D.88
【例7】(河北事业单位2011-18)饭店购进了三种蔬菜,其中白菜的重量占2/7,黄瓜的重量和其他两种蔬菜重量之和的比是2∶3,黄瓜比白菜多12千克。
共购进蔬菜()千克。
A.35B.75C.105D.150
【例8】(河北事业单位2011-11)把一张纸剪成8块,从所有的纸片中取出若干块,每块各剪成8块,再从所有纸中取出若干块,每块各剪8块……如此下去,到剪完某一次后停止,所得的纸片总数有可能是()块。
A.2008B.2009C.2010D.2011
本讲答案:
BABCCCCBCC
第二讲:
十字交叉法
课前自测
【自测题1】(江苏2006B-70)某体育训练中心,教练员中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员中男占82%,教练员与运动员人数之比是多少?
()
A.2∶5B.1∶3C.1∶4D.1∶5
【自测题2】某单位共有员工25人,他们的平均年龄为28岁,其中男员工的平均年龄为30岁,女员工的平均年龄为25岁,问男员工比女员工的人数多多少?
()
A.2人B.3人C.4人D.5人
知识点
“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧,对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”的效果。
这种方法实际上是一种简化方程的形式,凡是符合下图左边方程的形式,都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化:
例题精讲
【例1】(陕西2008-14)某班一次数学测试,全班平均91分,其中男生平均88分,女生平均93分,则女生人数是男生人数的多少倍?
()
A.0.5B.1C.1.5D.2
【例2】某超市购进西瓜1000个,运输途中碰裂一些,未碰裂的西瓜卖完后,利润率为40%,碰裂的西瓜只能降价出售,亏本60%,最后结算时总的利润率为32%,碰裂了多少西瓜?
()
A.80B.75C.85D.78
【例3】(河北选调2009-57)车间共有40人,某次技术操作考核平均成绩为80分,其中男工平均成绩为86分,女工平均成绩为78分,该车间有女工多少人?
()
A.16B.24C.25D.30
【例4】(河北选调2009-47)一只松鼠采松籽,晴天每天采24个,雨天每天采16个,它一连几天共采168个松子,平均每天采21个,这几天当中晴天有几天?
()
A.3B.4C.5D.6
【例5】某公司2011年前三季度营业收入7650万元,比上年同期增长2%,其中主营业务收入比上年同期减少2%,而其它业务收入比上年同期增加10%,那么,该公司2011年前三季度主营业务收入为多少?
()
A.3920万元B.4410万元C.4900万元D.5490万元
【例6】(国家2011-76)某单位共有A、B、C三个部门,三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。
A和B两部门人员平均年龄为30岁,B和C两部门人员平均年龄为34岁。
该单位全体人员的平均年龄为多少岁?
()
A.34B.36C.35D.37
本讲答案:
CDCADCCC
第三讲:
数列与平均数(上)
课前自测
【自测题1】如果某一年的七月份有5个星期四,它们的日期之和为80,那么这个月的3号是星期几?
()
A.星期一B.星期三C.星期五D.星期日
【自测题2】(湖南长沙事业2010-57)甲、乙两个数的和是218,如果再加上一个数丙,这时三个数的平均数比甲、乙两数的平均数多5,那么数丙是()。
A.140B.130C.124D.127
知识点
基本知识点:
总和=平均数×个数
等差数列中:
平均数=中位数=(首数+尾数)÷2
例题精讲
【例1】(河北选调2009-53)一个房间里有10个人,平均年龄是27岁。
另一个房间里有15个人,平均年龄是37岁。
两个房间的人合在一起,他们的平均年龄是多少岁?
()
A.30B.31C.32D.33
【例2】(吉林2010-7)某班一次期末数学考试成绩,平均分为95.5分,后来发现小林的成绩是97分误写成79分。
再次计算后,该班平均成绩是95.95分。
则该班人数是()。
A.30人B.40人C.50人D.60人
【例3】(北京2011-75)某学生参加了六次测验,第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分,比后两次的平均分少2分,如果后三次平均分比前三次平均分多3分,那么第四次比第三次多得几分?
()
A.1B.2C.3D.4
【例4】(石家庄事业单位2011-92)10个连续自然数的和是205,那么其中最小的自然数是多少?
()
A.14B.15C.16D.17
【例5】(安徽2008-12)某日小李发现日历有好几天没有翻,就一次翻了6张,这6天的日期加起来数字是141,他翻的第一页是几号?
()
A.18B.21C.23D.24
【例6】四个连续自然数的积为1680,它们的和为()。
A.26B.52C.30D.28
本讲答案:
CCDBACBA
第四讲:
数列与平均数(下)
课前自测
【自测题1】(安徽2010-7)在1--101中5的倍数的所有数的平均数是()。
A.52.5B.53.5C.54.5D.55.5
【自测题2】(重庆村官2011-98)某7个数的平均数是16,去掉一个数,剩下的6个数的平均数是17,问去掉的数是()。
A.12B.10C.14D.13
知识点
基本知识点:
总和=平均数×个数
等差数列中:
平均数=中位数=(首数+尾数)÷2
例题精讲
【例1】(2011年917联考-58)小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比,已知小赵的收入是3000元,小孙的收入是3600元,那么小周比小孙的收入高:
()
A.700元B.720元C.760元D.780元
【例2】(江苏2011C类-31)已知数据23、25、26、27、28、24、20、33、35、46,用这10个数分别减去其平均数,所得10个数值的和为?
()
A.3B.2C.0D.-3
【例3】(国家2012-78)某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比,9名工人的得分恰好成等差数列,9人的平均得分是86分,前5名工人的得分之和是460分,那么前7名工人的得分之和是多少?
()
A.602B.623C.627D.631
【例4】(北京社招2009-12)训练时,若干新兵站成一排,从一开始报数,除了甲以外其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于50。
请问共有多少名新兵?
()
A.10B.11C.12D.13
【例5】(深圳教育2010B-17)已知有若干个连续的奇数:
1,3,5,7,9,11,13…所有奇数的和减去该列奇数中的某个奇数得到608,则被减去的奇数为()。
A.17B.19C.21D.23
【例6】(上海2010-58)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品,如下图所示,若按照这种规律依次增加一定数量的宝石,则第10件工艺品的宝石数为()颗。
A.229B.231C.238D.245
【例7】(北京社招2009-25)一次数学考试满分是100分,某班前六名同学的平均得分是95分,排名第六同学的得分是86分,假如每人得分是互不相同的整数,那么排名第三的同学最少得多少分?
()
A.94B.95C.96D.97
本讲答案:
ABBCBBABC
第五讲:
工程问题
课前自测
【自测题1】某工人原计则10个小时完成的工作,8小时就全部完成了,他的工作效率比原计划高了()。
A.20%B.125%C.25%D.75%
【自测题2】(国家09-110)一条隧道,甲单独挖要20天完成,乙单独挖要10天完成,如果甲先挖1天,然后乙接甲挖1天,再由甲接乙挖1天,…两人如此交替,共用多少天挖完?
()
A.14B.16C.15D.13
知识点
工程总量=工作效率*工作时间
我们在工程问题中,常常利用“转化归一法”把工程量化为一个便于计算的数字或者把单位效率设为1
例题精讲
【例1】(上海2012A-57)某车间三个班组共同承担一批加工任务,每个班组要加工100套产品。
因为加工速度有差异,一班组完成任务时二班组还差5套产品没完成,三班组还差10套产品没完成。
假设三个班组加工速度都不变,那么二班组完成任务时,三班组还剩()套产品未完成。
A.5B.80/19C.90/19D.100/19
【例2】(江苏2011B类-88)修一条公路,假定每人每天的工作效率相同,计划180名工人1年完成,工作4个月后,因特殊情况,要求提前2个月完成任务,需要增加工人多少名?
()
A.50B.65C.70D.60
【例3】(安徽2011-9)某工厂的一个生产小组,当每个工人都在岗位工作,9小时可以完成一项生产任务。
如果交换工人甲和乙的岗位,其他人不变,可提前1小时完成任务;如果交换工人丙和丁的岗位,其他人不变,也可以提前1小时完成任务。
如果同时交换甲和乙,丙和丁的岗位,其他人不变,可以提前多少小时完成?
()
A.1.4B.1.8C.2.2D.2.6
【例4】(重庆法检2011-69)某项工程项目由甲项目公司单独完成需要15天,由乙项目公司单独完成需要18天,由丙项目公司单独完成需要12天。
现因某种原因改为:
首先由甲项目公司做1天,其次由乙项目公司做1天,最后由丙项目公司做1天,然后再由甲项目公司做1天,……如此循环往复,则完成该工程项目共需()天。
A.
B.
C.
D.
【例5】(河南选调2011-44)水池上装有A,B两个注水管,单开A管40分钟可以注满整个水池,若两管同时注水3.5分钟,可注满水池的1/8,那么单开B水管需要多少分钟注满水池?
()
A.
B.60C.
D.68
【例6】(湖南法检2011-47)加工一批零件,甲单独完成需要24天,乙单独完成需要30天。
现在甲乙两人一起加工这批零件,但甲中途因故离开,最后这批零件从开始到结束共花了20天,则甲离开了()。
A.8天B.9天C.10天D.12天
本讲答案:
CADDBBAD
第六讲:
浓度问题
课前自测
【自测题1】(安徽2009-11)当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时,盐水重量为多少千克?
()
A.45B.50C.55D.60
【自测题2】(江苏2010C-31,山西2009-97)将10克盐和200克浓度为5%的盐水一起加入一杯水中,可得浓度为2.5%的盐水,则原来杯中水的克数是()。
A.570B.580C.590D.600
知识点
“溶液问题”是一种非常典型的“比例型”计算问题,抓住“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系,是解题的基础和关键:
溶液=溶质+溶剂;浓度=溶质÷溶液;溶质=溶液×浓度;溶液=溶质÷浓度
例题精讲
【例1】(安徽2011-10)一满杯纯牛奶,喝去20%后用水加满,再喝去60%。
此时杯中的纯牛奶占杯子容积的百分数为()。
A.52%B.48%C.42%D.32%
【例2】(河南选调2011-43)瓶子里装有20%的酒精1千克,现分别倒入100克和500克的甲、乙两种酒精,此时瓶子里的酒精浓度变为13%。
若甲酒精是乙酒精浓度的3倍,那么甲酒精的浓度是多少?
A.1%B.3%C.5%D.7%
【例3】(成都事业单位2011-11)从装满140克浓度为85%的盐水杯中倒出60克盐水后,再倒入盛满并使之混合均匀。
这样反复二次后,杯中盐水的浓度约是()。
A.85%B.14.29%C.33.33%D.27.76%
【例4】(山西政法2009-103)甲、乙两个容器中分别装有17%的酒精溶液400克,9%的酒精溶液600克,从两个容器中分别取出相同重量的酒精溶液倒入对方容器中,这时两个容器的酒精浓度相同,则从甲容器倒入乙容器中的酒精溶液的克数是()。
A.200B.240C.250D.260
【例5】(湖南2009-113)有两只相同的大桶和一只空杯子,甲桶装牛奶,乙桶装同样多的糖水。
先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶,再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。
请问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多?
()
A.无法判定B.甲桶糖水多C.乙桶牛奶多D.一样多
核心提示
在“浓度问题”中,有一类题型不涉及具体溶液总量,只涉及溶质与溶剂的相对比例。
这类问题非常抽象,我们一般令其中那个“不变量”或者“相等量”为一特值,从而简化计算。
【例6】(河北政法2010-13)两个相同的瓶子装满酒精溶液,一个瓶子中酒精与水的体积比是3∶1,另一个瓶子中酒精与水的体积比是4∶1,若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精和水的体积之比是多少?
()
A.31∶9B.7∶2C.31∶40D.20∶11
【例7】(广东2008-12)一杯溶液,每次加同样多的水,第一次加水后浓度为15%,第二次加水后浓度为12%,请问第三次加水后浓度为多少?
()
A.8%B.9%C.10%D.11%
本讲答案:
ACDBDBDAC
第七讲:
牛吃草问题
课前自测
【自测题1】(山西政法2009-99)一片草地(草以均匀速度生长),240只羊可以吃6天,200只羊可以吃10天,则这片草可供190只羊吃的天数是()。
A.11B.12C.14D.15
【自测题2】(江苏2009-78)有一池泉水,泉底均匀不断涌出泉水。
如果用8台抽水机10小时能把全池水抽干,或用12台抽水机6小时能把全池水抽干。
如果用14台抽水机把全池水抽干,则需要的时间是()。
A.5小时B.4小时C.3小时D.5.5小时
知识点
“牛吃草问题”是一类经典的、常考不衰的数学运算题型。
这种题型源自于小学奥数,但最有效的做题方法并不是小学奥数当中的方法,而是利用核心公式列方程组来解题。
其本质为“比例型工程问题”与“追及型行程问题”的结合。
核心公式:
y=
1、“y”代表原有存量(比如“原有草量”);
2、“N”代表促使原有存量减少的变量(比如“牛数”);
3、“x”代表存量的自然增长速度(比如“草长速度”);
4、“T”代表存量完全消失所耗用时间。
例题精讲
【例1】(安徽2011-14)某招聘会在入场前若干分钟就开始排队,每分钟来的求职人数一样多,从开始入场到等候入场的队伍消失,同时开4个入口需30分钟,同时开5个入口需20分钟。
如果同时打开6个入口,需多少分钟?
()
A.8B.10C.12D.15
【例2】(北京2011-81)假设某地森林资源的增长速度是一定的,且不受到自然灾害等影响,那么若每年开采110万立方米,则可开采90年,若每年开采90万立方米则可开采210年。
为了使这片森林可持续开发,则每年最多开采多少万立方米?
()
A.30B.50C.60D.75
核心提示
当题目中有牛有羊时,需要将其全部转换为牛或者羊,再代入公式进行计算。
【例3】有一块草地,每天草生长的速度相同。
现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃12天。
如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量,那么这片草地可供10头牛和60只羊一起吃多少天?
()
A.6天B.8天C.12天D.15天
核心提示
如果解方程组算得x为负,说明存量不是自然增长而是自然消亡的。
【例4】有一水池,在某次大雨后灌满了一池水,水在池底以均匀的速度渗走进入深层地下水。
如果想把水池的水抽干,8台抽水机需要3小时,5台抽水机需要4小时。
如果想在6小时之内抽干水,至少需要多少台抽水机?
()
A.4B.3C.2D.1
核心提示
如果草场有面积区别,如“M头牛吃W亩草”时,N用“M/W”代入,此时N代表单位面积上的牛数。
【例5】有三块草地,面积分别为5、6和8公顷。
草地上的草一样厚,而且长的一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。
问第三块草地可供19头牛吃多少天?
()
A.8B.9C.10D.12
本讲答案:
BADDBCA
第八讲:
边端问题
课前自测
【自测题1】(河南招警2011-50)把一根钢管锯成5段需要8分钟,如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟?
()
A.38B.40C.48D.64
【自测题2】(福建秋季事业单位2011-66)有48辆彩车排成一列。
每辆彩车长4米,彩车之间相隔6米。
这列彩车共长多少米?
()
A.360B.474C.480D.487
知识点
边端问题是一类特殊的计数问题,这类问题建立在几何意义的模型之上,需要考生通过平面几何的思维和想象力来理解,才能有效完成答题。
其中:
理解与牢记各类题型当中的“±1关系”,是解答“边端问题”的关键。
边端问题包括“植树问题”、“方阵问题”、“排队问题”、“爬楼问题”、“锯管问题”等等。
例题精讲
【例1】(重庆村官2011-95)将一根钢管截成3段需要12分钟,如果每截一次所需的时间相同,那么将这个钢管截成4段需要()分钟
A.20B.16C.18D.24
【例2】(重庆选调2010-78)长度为250米的马路上每隔5米植树一棵,则该条路上共有树木几棵?
()
A.50棵B.51棵C.52棵D.53