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1、华图网校 数量关系 精心编制第四章 数量关系目 录第一讲：代入排除法2第二讲：十字交叉法3第三讲：数列与平均数（上）3第四讲：数列与平均数（下）4第五讲：工程问题5第六讲：浓度问题6第七讲：牛吃草问题7第八讲：边端问题8第九讲：行程问题（上）9第十讲：行程问题（下）10第十一讲：几何问题11第十二讲：年龄问题12第十三讲：容斥原理（上）13第十四讲：容斥原理（下）14第十五讲：排列组合（上）15第十六讲：排列组合（下）16第十七讲：统筹问题17第十八讲：比赛问题18第十九讲：抽屉原理19第二十讲：时钟问题20第二十一讲：做差数列21第二十二讲：做商数列、多重数列22第二十三讲：分数数列、幂次数

2、列23第二十四讲：递推数列24第一讲：代入排除法课前自测【自测题1】（浙江2011-57）一个三位数的各位数字之和是16。其中十位数字比个位数字小3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？（ ）A. 169 B. 358 C. 469 D. 736【自测题2】（广东2011-8）三个运动员跨台阶，台阶总数在100-150 级之间，第一位运动员每次跨3 级台阶，最后一步还剩2 级台阶。第二位运动员每次跨4 级，最后一步还剩3 级台阶。第三位运动员每次跨5 级台阶，最后一步还剩4 级台阶。问这些台阶总共有（ ）级?A.

3、119 B. 121 C. 129 D. 131知识点1、“代入排除法”是数学运算题型当中最重要的技巧，这种方法结合题干与选项双向判断，是处理行测“客观单选题”最为行之有效的方法。2、“代入排除法”广泛运用在多位数问题、不定方程（组）问题、同余问题、和差倍比问题、年龄问题、行程问题、周期问题等等题型。3、“代入排除法”还可以利用数字的基本特性来完成，这就要求广大考生掌握基本的数字特性，特别是对倍数的判断。例题精讲【例1】（吉林2011 甲级-6，吉林2011 乙级-6）大小两个数的和是50.886，较大数的小数点向左移动一位就等于较小的数，则较大的数为（ ）。A. 46.25 B. 46.26

4、 C. 46.15 D. 40.26【例2】（上海2011B-61）韩信故乡淮安民间流传着一则故事“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数，他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5 人一排，结果多出3 名；命将士7 人一排，结果又多出2 名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个，则该数字是（ ）。A. 868 B. 998 C. 1073 D. 1298【例3】（浙江2011-55）甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3 给乙后，乙再拿出总数的1/5 给甲，这时他们各有160 元。问甲、乙原来各有多少钱？（ ）A.

5、120 元 200 元 B. 150 元 170 元 C. 180 元 140 元 D. 210 元 110 元【例4】（四川事业2011-6）水果店运来一批石榴和苹果，其中苹果的重量占总重量的9/20，苹果比石榴少200千克，运来石榴（ ）千克。A. 2000 B. 1800 C. 1100 D. 900【例5】（重庆村官2011-92）三个连续自然数的积是其和的21倍，则这三个数中最小的是（ ）。A. 3 B. 4 C. 7 D. 12【例6】（河南选调2011-41）小李到商店买了一个书包和一个羽毛球拍，在付钱时，他漏看了羽毛球拍价位个位上的“0”，准备付158 元。售货员说：“您看错了

6、单位，应该付410 元才对。”那么一个书包的单价是多少元？A. 158 B. 130 C. 98 D. 88【例7】（河北事业单位2011-18）饭店购进了三种蔬菜，其中白菜的重量占2/7，黄瓜的重量和其他两种蔬菜重量之和的比是23，黄瓜比白菜多12千克。共购进蔬菜（ ）千克。A. 35 B. 75 C. 105 D. 150【例8】（河北事业单位2011-11）把一张纸剪成8 块，从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成8 块，再从所有纸中取出若干块，每块各剪8 块如此下去，到剪完某一次后停止，所得的纸片总数有可能是（ ）块。A. 2008 B. 2009 C. 2010 D. 2011本讲答案

7、：BA BCCCC BCC第二讲：十字交叉法课前自测【自测题1】（江苏2006B-70）某体育训练中心，教练员中男占90，运动员中男占80，在教练员和运动员中男占82，教练员与运动员人数之比是多少？（ ）A. 25 B. 13 C. 14 D. 15【自测题2】某单位共有员工25 人，他们的平均年龄为28 岁，其中男员工的平均年龄为30 岁，女员工的平均年龄为25 岁，问男员工比女员工的人数多多少？（ ）A. 2 人 B. 3 人 C. 4 人 D. 5 人知识点“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”的效果。这种方法实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下

8、图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：例题精讲【例1】（陕西2008-14）某班一次数学测试，全班平均91 分，其中男生平均88 分，女生平均93 分，则女生人数是男生人数的多少倍？（ ）A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2【例2】某超市购进西瓜1000 个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂的西瓜只能降价出售，亏本60%，最后结算时总的利润率为32%，碰裂了多少西瓜？（ ）A. 80 B. 75 C. 85 D. 78【例3】（河北选调2009-57）车间共有40 人，某次技术操作考核平均成绩为80 分，其中男工平均成绩为86 分，女工平

9、均成绩为78 分，该车间有女工多少人？（ ）A. 16 B. 24 C. 25 D. 30【例4】（河北选调2009-47）一只松鼠采松籽，晴天每天采24 个，雨天每天采16 个，它一连几天共采168 个松子，平均每天采21 个，这几天当中晴天有几天？（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【例5】某公司2011 年前三季度营业收入7650 万元，比上年同期增长2%，其中主营业务收入比上年同期减少2%，而其它业务收入比上年同期增加10%，那么，该公司2011 年前三季度主营业务收入为多少？（ ）A. 3920 万元 B. 4410 万元C. 4900 万元 D. 5490 万元【例6】（国

10、家2011-76）某单位共有A、B、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38 岁、24 岁、42 岁。A 和B 两部门人员平均年龄为30 岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34 岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（ ）A. 34 B. 36 C. 35 D. 37本讲答案：CD CADCC C第三讲：数列与平均数（上）课前自测【自测题1】如果某一年的七月份有5 个星期四，它们的日期之和为80，那么这个月的3 号是星期几？（ ）A. 星期一 B. 星期三 C. 星期五 D. 星期日【自测题2】（湖南长沙事业2010-57）甲、乙两个数的和是218，如果再加上一个数丙，这时三个数的平均数比甲

11、、乙两数的平均数多5，那么数丙是（ ）。A. 140 B. 130 C. 124 D. 127知识点基本知识点：总和平均数个数等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）2例题精讲【例1】（河北选调2009-53）一个房间里有10 个人，平均年龄是27 岁。另一个房间里有15 个人，平均年龄是37 岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？（ ）A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【例2】（吉林2010-7）某班一次期末数学考试成绩，平均分为95.5 分，后来发现小林的成绩是97 分误写成79分。再次计算后，该班平均成绩是95.95分。则该班人数是（ ）。A. 30 人 B.

12、40 人 C. 50 人 D. 60 人【例3】（北京2011-75）某学生参加了六次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2 分，如果后三次平均分比前三次平均分多3 分，那么第四次比第三次多得几分？（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例4】（石家庄事业单位2011-92）10 个连续自然数的和是205，那么其中最小的自然数是多少？（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【例5】(安徽2008-12)某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了6 张，这6 天的日期加起来数字是141，他翻的第一页是几号？（ ）A. 18 B. 21 C. 23

13、D. 24【例6】四个连续自然数的积为1680，它们的和为（ ）。A. 26 B. 52 C. 30 D. 28本讲答案：CC DBACB A第四讲：数列与平均数（下）课前自测【自测题1】（安徽2010-7）在1-101 中5 的倍数的所有数的平均数是（ ）。A. 52.5 B. 53.5 C. 54.5 D. 55.5【自测题2】（重庆村官2011-98）某7 个数的平均数是16，去掉一个数，剩下的6 个数的平均数是17，问去掉的数是（ ）。A. 12 B. 10 C. 14 D. 13知识点基本知识点：总和平均数个数等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）2例题精讲【例1】（2011 年

14、917 联考-58）小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000 元，小孙的收入是3600 元，那么小周比小孙的收入高：（ ）A. 700 元 B. 720 元 C. 760 元 D. 780 元【例2】（江苏2011C类-31）已知数据23、25、26、27、28、24、20、33、35、46，用这10 个数分别减去其平均数，所得10个数值的和为？（ ）A. 3 B. 2 C. 0 D. -3【例3】（国家2012-78）某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分

15、之和是多少？（ ）A. 602 B. 623 C. 627 D. 631【例4】（北京社招2009-12）训练时，若干新兵站成一排，从一开始报数，除了甲以外其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于50。请问共有多少名新兵？（ ）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【例5】（深圳教育2010B-17）已知有若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13所有奇数的和减去该列奇数中的某个奇数得到608，则被减去的奇数为（ ）。A. 17 B. 19 C. 21 D. 23【例6】（上海2010-58）一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示，若按照这种规律依次增加一定数量的宝石

16、，则第10 件工艺品的宝石数为（ ）颗。A. 229 B. 231 C. 238 D. 245【例7】（北京社招2009-25）一次数学考试满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95 分，排名第六同学的得分是86分，假如每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分？（ ）A. 94 B. 95 C. 96 D. 97本讲答案：AB BCBBA BC第五讲：工程问题课前自测【自测题1】某工人原计则10 个小时完成的工作，8 小时就全部完成了，他的工作效率比原计划高了（ ）。A. 20% B. 125% C. 25% D. 75%【自测题2】（国家09-110）一条隧道，甲单独挖要

17、20 天完成，乙单独挖要10 天完成，如果甲先挖1 天，然后乙接甲挖1 天，再由甲接乙挖1天，两人如此交替，共用多少天挖完？（ ）A. 14 B. 16 C. 15 D. 13知识点工程总量=工作效率*工作时间我们在工程问题中，常常利用“转化归一法”把工程量化为一个便于计算的数字或者把单位效率设为1例题精讲【例1】（上海2012A-57）某车间三个班组共同承担一批加工任务，每个班组要加工100 套产品。因为加工速度有差异，一班组完成任务时二班组还差5套产品没完成，三班组还差10套产品没完成。假设三个班组加工速度都不变，那么二班组完成任务时，三班组还剩（ ）套产品未完成。A. 5 B. 80/1

18、9 C. 90/19 D. 100/19【例2】（江苏2011B 类-88）修一条公路，假定每人每天的工作效率相同，计划180 名工人1年完成，工作4 个月后，因特殊情况，要求提前2 个月完成任务，需要增加工人多少名？（ ）A. 50 B. 65 C. 70 D. 60【例3】（安徽2011-9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9 小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1 小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1 小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？（ ）A. 1.4 B. 1.

19、8 C. 2.2 D. 2.6【例4】（重庆法检2011-69）某项工程项目由甲项目公司单独完成需要15 天，由乙项目公司单独完成需要18 天，由丙项目公司单独完成需要12 天。现因某种原因改为：首先由甲项目公司做1天，其次由乙项目公司做1 天，最后由丙项目公司做1 天，然后再由甲项目公司做1 天，如此循环往复，则完成该工程项目共需（ ）天。A. B. C. D. 【例5】（河南选调2011-44）水池上装有A，B 两个注水管，单开A 管40分钟可以注满整个水池，若两管同时注水3.5分钟，可注满水池的1/8，那么单开B 水管需要多少分钟注满水池？（ ）A. B. 60 C. D. 68【例6】

20、（湖南法检2011-47）加工一批零件，甲单独完成需要24 天，乙单独完成需要30 天。现在甲乙两人一起加工这批零件，但甲中途因故离开，最后这批零件从开始到结束共花了20 天，则甲离开了（ ）。A. 8 天 B. 9 天 C. 10 天 D. 12 天本讲答案：CA DDBBA D第六讲：浓度问题课前自测【自测题1】（安徽2009-11）当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少千克？（ ）A. 45 B. 50 C. 55 D. 60【自测题2】（江苏2010C-31，山西2009-97）将10 克盐和200 克浓度为5的盐水一起加入一杯水中，可得浓度为2.5%的盐水

21、，则原来杯中水的克数是（ ）。A. 570 B. 580 C. 590 D. 600知识点“溶液问题”是一种非常典型的“比例型”计算问题，抓住“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系，是解题的基础和关键：溶液溶质+溶剂；浓度溶质溶液；溶质溶液浓度；溶液溶质浓度例题精讲【例1】（安徽2011-10）一满杯纯牛奶，喝去20%后用水加满，再喝去60%。此时杯中的纯牛奶占杯子容积的百分数为（ ）。A. 52% B. 48% C. 42% D. 32%【例2】（河南选调2011-43）瓶子里装有20%的酒精1千克，现分别倒入100 克和500 克的甲、乙两种酒精，此时瓶子里的酒精浓度变为13%。若甲酒精是

22、乙酒精浓度的3 倍，那么甲酒精的浓度是多少？A. 1% B. 3% C. 5% D. 7%【例3】（成都事业单位2011-11）从装满140 克浓度为85%的盐水杯中倒出60 克盐水后，再倒入盛满并使之混合均匀。这样反复二次后，杯中盐水的浓度约是（ ）。A. 85% B. 14.29% C. 33.33% D. 27.76%【例4】（山西政法2009-103）甲、乙两个容器中分别装有17的酒精溶液400 克，9%的酒精溶液600 克，从两个容器中分别取出相同重量的酒精溶液倒入对方容器中，这时两个容器的酒精浓度相同，则从甲容器倒入乙容器中的酒精溶液的克数是（ ）。A. 200 B. 240 C.

23、 250 D. 260【例5】（湖南2009-113）有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装同样多的糖水。先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。请问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？（ ）A. 无法判定 B. 甲桶糖水多 C. 乙桶牛奶多 D. 一样多核心提示在“浓度问题”中，有一类题型不涉及具体溶液总量，只涉及溶质与溶剂的相对比例。这类问题非常抽象，我们一般令其中那个“不变量”或者“相等量”为一特值，从而简化计算。【例6】（河北政法2010-13）两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是31，另一个瓶子中酒精与水的体积比是

24、41，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？（ ）A. 319 B. 72 C. 3140 D. 2011【例7】（广东2008-12）一杯溶液，每次加同样多的水，第一次加水后浓度为15%，第二次加水后浓度为12%，请问第三次加水后浓度为多少？（ ）A. 8% B. 9% C. 10% D. 11%本讲答案：AC DBDBD AC第七讲：牛吃草问题课前自测【自测题1】（山西政法2009-99）一片草地（草以均匀速度生长），240 只羊可以吃6 天，200只羊可以吃10 天，则这片草可供190 只羊吃的天数是（ ）。A. 11 B. 12 C. 14 D. 15【自测题2】（

25、江苏2009-78）有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用8台抽水机10 小时能把全池水抽干，或用12 台抽水机6 小时能把全池水抽干。如果用14 台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是（ ）。A. 5 小时 B. 4 小时 C. 3 小时 D. 5.5 小时知识点“牛吃草问题”是一类经典的、常考不衰的数学运算题型。这种题型源自于小学奥数，但最有效的做题方法并不是小学奥数当中的方法，而是利用核心公式列方程组来解题。其本质为“比例型工程问题”与“追及型行程问题”的结合。核心公式： y=1、“y”代表原有存量（比如“原有草量”）；2、“N”代表促使原有存量减少的变量（比如“牛数”）；3、“x”代表

26、存量的自然增长速度（比如“草长速度”）；4、“T”代表存量完全消失所耗用时间。例题精讲【例1】（安徽2011-14）某招聘会在入场前若干分钟就开始排队，每分钟来的求职人数一样多，从开始入场到等候入场的队伍消失，同时开4 个入口需30 分钟，同时开5 个入口需20 分钟。如果同时打开6 个入口，需多少分钟？（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 15【例2】（北京2011-81）假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采110 万立方米，则可开采90 年，若每年开采90 万立方米则可开采210 年。为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米？（ ）

27、A. 30 B. 50 C. 60 D. 75核心提示当题目中有牛有羊时，需要将其全部转换为牛或者羊，再代入公式进行计算。【例3】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供16 头牛吃20 天，或者供80只羊吃12 天。如果一头牛一天的吃草量相当于4 只羊一天的吃草量，那么这片草地可供10 头牛和60 只羊一起吃多少天？（ ）A. 6 天 B. 8 天 C. 12 天 D. 15 天核心提示如果解方程组算得x为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的。【例4】有一水池，在某次大雨后灌满了一池水，水在池底以均匀的速度渗走进入深层地下水。如果想把水池的水抽干，8台抽水机需要3小时，5台抽水机

28、需要4 小时。如果想在6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1核心提示如果草场有面积区别，如“M 头牛吃W 亩草”时，N用“M/W”代入，此时N代表单位面积上的牛数。【例5】有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 12本讲答案：BA DDBCA第八讲：边端问题课前自测【自测题1】（河南招警2011-50）把一根钢管锯成5 段需要8 分钟，如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟？（

29、 ）A. 38 B. 40 C. 48 D. 64【自测题2】（福建秋季事业单位2011-66）有48 辆彩车排成一列。每辆彩车长4 米，彩车之间相隔6 米。这列彩车共长多少米？（ ）A. 360 B. 474 C. 480 D. 487知识点边端问题是一类特殊的计数问题，这类问题建立在几何意义的模型之上，需要考生通过平面几何的思维和想象力来理解，才能有效完成答题。其中：理解与牢记各类题型当中的“1关系”，是解答“边端问题”的关键。边端问题包括“植树问题”、“方阵问题”、“排队问题”、“爬楼问题”、“锯管问题”等等。例题精讲【例1】（重庆村官2011-95）将一根钢管截成3段需要12分钟，如果每截一次所需的时间相同，那么将这个钢管截成4 段需要（ ）分钟A. 20 B. 16 C. 18 D. 24【例2】（重庆选调2010-78）长度为250 米的马路上每隔5 米植树一棵，则该条路上共有树木几棵？（ ）A. 50 棵 B. 51 棵 C. 52 棵 D. 53