高中数学622 直线上向量的坐标及其运算教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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高中数学622直线上向量的坐标及其运算教学设计学情分析教材分析课后反思

6.2.2直线上向量的坐标及其运算

教学设计

学习目标

数学学科核心素养

1.理解直线上向量坐标的概念，会求直线上向量的坐标；

2.理解直线上向量坐标的运算，会求直线上向量的加、减、数乘的坐标运算；

3.会用数轴上两点间的距离公式和中点坐标公式解决实际问题

通过本节课的学习提升学生数学抽象、直观想象和数学运算能力；以及培养学生的创新意识和应用意识。

一、知识回顾

引导同学们回顾旧知识，为学习新知识做准备。

1.共线向量基本定理是什么？

如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa。

2.若M为线段AB的中点，则与、有什么关系？

二、预习导入

已要求学生对本级知识进行了提前预习，上课后再给学生3-4分钟时间，带着以下问题继续预习课本157—159页：

1.什么是直线上的向量？

2.直线上向量的坐标定义是什么？

3.如何从数轴的角度理解直线上向量的坐标？

4.直线上向量坐标如何进行加、减以及数乘运算？

5.数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式是什么？

由于本节知识相对简单，在知识讲授时将已学生自主学习为主，已提高学生学习的积极主动性。

三、新课讲授

（一）直线上向量的坐标

通过学生的预习，让学生回答以下问题：

1.直线上向量的定义：

始点和终点都在这条直线上的向量

2.直线上向量的坐标的定义：

给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在__唯一__的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的坐标．

让学生自主思考：

怎样理解a=xe?

（提示：

x能刻画向量a的模和方向吗？

）

（1）|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|

（2）当x＞0时，a的方向与e的方向相同；

当x＝0时，a是零向量；

当x＜0时，a的方向与e的方向相反．

总结：

当直线上给定了单位向量时，直线上的向量完全被其坐标确定。

3.探究一：

通过直线上向量坐标定义学习，让学生自主讨论，如何求数轴上向量的坐标？

由定义知，若e的坐标为1，则向量a的坐标为_-4_

的坐标为-4

4.让学生思考总结本部分知识：

求解直线上向量坐标的方法有哪些？

（1）将向量用单位向量表示出来，则单位向量的系数即为其坐标；

（2）将向量始点平移到数轴的原点，则终点坐标即为其坐标。

（二）直线上向量的运算与坐标的关系

通过学生的预习，让学生回答以下问题：

1.如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a=x1e，b=x2e．

（1）a＝b的充要条件是_x1＝x2_．

（2）a＋b的坐标为_x1＋x2_，a－b的坐标为_x1－x2__，λa的坐标为__λx1__．

（3）若u，v是两个实数，则ua+vb的坐标为__ux1+vx2__;

ua-vb的坐标为_ux1-vx2_。

总结：

直线上向量运算后的坐标即为其对应向量坐标的运算

（三）数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式

探究二：

设A（x1），B（x2）是数轴上两点，O为坐标原点，则A、B两点的距离即AB的长度用坐标如何表示？

请简述求解过程。

思路：

AB长度即为，因此先求的坐标，再求坐标的绝对值.

数轴上向量的坐标为终点坐标减去始点坐标

数轴上两点间距离公式：

思考：

若M（x）是线段AB的中点，则M点坐标如何表示？

因为

数轴上中点坐标公式：

四、典例解析

例1.如图，求出直线上向量a，b的坐标

解：

∵a的始点在原点

∴由a的终点坐标知a的坐标为2

∵b=-3e

∴b的坐标为-3

例2.已知直线上向量a的坐标为-2，b的坐标为5，求下列向量的坐标。

（1）a＋b；

（2）b；（3）-2a-3b.

解：

（1）a＋b的坐标为-2+5=3

（2）b的坐标为×5=1

（3）-2a-3b的坐标为（-2）×（-2）-3×5=-11

例3.设数轴上两点A，B的坐标分别为3，-7，求：

（1）向量的坐标，以及A与B的距离；

（2）线段AB中点的坐标。

解：

（1）∵A，B两点坐标分别为3，-7

∴的坐标为-7-3=-10

∴AB=|-10|=10

（2）设线段AB的中点坐标为x，则

五、当堂测验

1.已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：

（1）a=3eb=-6e

（2）a=eb=2e

2.在以O点为原点的数轴上，已知A点坐标为3，则的坐标为____

3.如图所示，求出向量a，b的坐标．

4.已知e是直线l上的一个单位向量，a与b都是直线l上的向量，且a=e，b=e，

求|a|,|b|,|a+b|,|2a-3b|

5.设数轴上两点A，B的坐标分别为-1，3，求：

（1）向量的坐标，以及A与B的距离；

（2）线段AB中点的坐标。

6.设A，B都是数轴上的点，A（3），且的坐标为-5，求点B的坐标。

六、本节小节

1.直线上向量坐标的定义及其表示；

a＝xe

2.直线上向量的运算与坐标的关系；

如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a=x1e，b=x2e．

（1）a＝b的充要条件是x1＝x2．

（2）a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1．

（3）若u，v是两个实数，则ua+vb的坐标为ux1+vx2;

ua-vb的坐标为ux1-vx2.

3.数轴上两点间距离公式及其中点坐标公式

学情分析

高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力。

通过初中知识的学习，学生已经掌握了平面几何的基本知识。

而通过本章前面知识的学习，学生也已掌握了向量的概念和简单运算，对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题，这些为本节课的学习奠定了必要的知识基础；

这一节《直线上向量的坐标及其运算》是“平面向量”这一章的转折点，在这之前，向量的运算用的都是图形，而从这节课用坐标进行运算，坐标是学生非常熟悉，运用起来可说已经达到得心应手程度的工具，但将向量与坐标实现本质上的沟通却有一点难度，若很好地突破了这个难点，则可在学生面前展现出一派大好风光和通畅坦途。

本节作为过渡章节，内容相对比较简单，根据目前学生的状况和前面的学习经验，这节课在讲授时会以学生自主探究学习为主，以避免老师讲授太多，导致学生丢失很多重要的知识。

效果分析

新课程提倡自主、合作、探究的学习方式，课堂教学是学生学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。

教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习。

如何才能提高课堂教学的有效性，我在本节课中的教学中主要运用了以下几种方法。

一、鼓励学生主动参与，积极交往。

要使课堂教学真正成为高校课堂的主渠道，必须着力唤醒学生的主体意识，让学生主动地参与教学活动。

在课堂教学中应坚持学生活动的自主性，使学生主体处于活跃兴奋状态，使学习成为学生自己的活动，让学生在教学实践过程中学会选择、学会参与。

例如在学习数轴上两点间距离公式和中点坐标公式时，我引导学生通过前面做的随堂练习来自己整理求解思路，然后结合之前的知识进行系统的证明，加深学生印象在小组内探究，通过合作学习，使学生主体性得到发展。

我还充分运用现代教育技术手段，进行多种媒体组合的优化教学，调动学生参与课堂活动过程的主动性和积极性，克服课堂教学中那种死板的缺乏生气的单向度的教学过程，解除学生的精神压力和紧张氛围，创建多向度的立体交往形式，为学生的更优发展提供优良的教学环境。

二、创设高效的课堂，提高学生对知识的吸收率。

教学方法是教师借以引导学生掌握知识，形成技巧的一种手段，要提高课堂教学效果，必须有良好的教学方法，深入浅出，使学生易于吸收。

在本节课中，我首先启发引导学生去发现问题、主动质疑。

让学生在自学、初步感知的基础上，对于教材中有关的问题提出自己的看法或疑惑的地方，师生一起筛选出其中最有价值的问题或疑难，开始小组讨论。

通过生生间讨论、交流、互动与对话，互相启发、互相补充、互相修正，深入问题，提高创新思维与质疑能力，最终领会科学的实质，落实本课的重点和难点。

最后，我让学生之间围绕学习内容而进行跟踪练习。

测试学生新课学习后教学目标达成率，检验学生运用知识、解决问题的能力。

练习题逐步递进，这样的检测不仅能客观评价学生的学习状况，更可以激发学生进一步努力学习的勇气。

但与自己曾设想的效果还是有一定的差距。

首先，在课堂形式上显得比较单一，和孩子们的互动不是很多，替孩子们回答的较多，在课堂中出现的问题没能够灵活处理，给学困生的鼓励较少。

其次，在知识的讲解上也存在一些问题，比如在新旧知识的衔接上不够灵活。

再次，合作探究学习时间太少。

总之，课堂教学是教师与学生的双边活动。

要提高中学数学课堂教学质量，必须以学生为本，凭借数学思维性强、灵活性强、运用性强的特点，精心设计，给学生一些机会，让他自己去体会；给学生一点困难，让他自己去解决；给学生一个问题，让他自己找答案；给学生一种条件，让他自己去锻炼；给学生一片空间，让他自己去开拓。

注重学生优秀思维品质的培养，变被动为主动，变学会为会学，这样就一定能达到传授知识，培养能力的目的，收到事半功倍的效果。

教材分析

本章作为平面向量初步，主要包括平面向量及其线性运算、向量基本定理与向量的坐标、平面向量线性运算的应用三大节。

本小节所在的第二节是向量基本定理与向量的坐标，与原教材相比，本节教材将共线向量基本定理和平面向量基本定理，直线上向量的坐标运算和平面向量正交分解安排在一起进行呈现，从一维到二维这样的安排更加贴近学生的思维习惯，并且进一步体现了数学公理体系和计算体系的完整性和严谨性。

本小节作为承上启下的一节，在本节学习中起到非常重要的作用，本小节首先利用第一小节的共线向量基本定理引入直线上向量的坐标定义，进而得到一维数轴上向量的坐标表示方法。

第二个知识点直线上向量的坐标运算为第三节平面向量的坐标运算奠定了方法和理论基础，体现了循序渐进的教学方式，更加贴合学生的思维习惯。

评测练习

一、单选题

1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-4,-1,则的坐标与||分别是（　　）

A.-3,3B.3,3C.3,-3D.-6,6

2.设,为不共线向量,=+,=-4-,=-5-2,则下列关系式中正确的是（　　）

A.=B.=2

C.=-D.=-2

3.数轴上A,B的坐标分别是3,-2,则3+4（O为原点）的坐标为（　　）

A.17B.1C.-1D.-17

4.有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简|a+b|-|c-b|的结果为（　　）

A.a+cB.-a-2b+c

C.a+2b-cD.-a-c

4.已知数轴上两点M,N,且||=4.若xM=-3,则xN等于（　　）

A.1B.2C.-7D.1或-7

5.已知直线上向量,的坐标分别为-1,3,则下列向量与同向的是（　　）

A.+B.-

C.+2D.3

二、多选题

6.数轴上的点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论正确的是（　　）

A.的坐标是2B.=-3

C.的坐标是4D.=2

7.若是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量=-,=,则下列说法正确的是（　　）

A.=-B.=-

C.+的坐标为0D.||||=1

三、填空题

8.数轴上三点A,B,C的坐标分别