正弦定理和余弦定理.docx

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正弦定理和余弦定理

2021年新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》

正弦定理和余弦定理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

（1）＝＝＝2R

（2）a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

（3）a＝2RsinA，b＝2RsinB，

c＝2RsinC；

（4）sinA＝，sinB＝，sinC＝；

（5）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

（6）asinB＝bsinA，

bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

（7）cosA＝；cosB＝；cosC＝

2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA

a≥b

a>b

解的个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形常用面积公式

（1）S＝a·ha（ha表示边a上的高）；

（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形内切圆半径）．

概念方法微思考

1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?

提示　在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.

2．如图，在△ABC中，有如下结论：

bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子．

提示　acosB＋bcosA＝c；

acosC＋ccosA＝b.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（　×　）

（2）当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．（　×　）

（3）在△ABC中，＝.（　√　）

（4）在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．（　√　）

题组二　教材改编

2．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．

答案　等腰三角形或直角三角形

解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为．

答案　2

解析　∵＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，

∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.

题组三　易错自纠

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

答案　A

解析　由已知及正弦定理得sinC

∴sin（A＋B）

∴sinAcosB＋cosAsinB

又sinA>0，∴cosB<0，∴B为钝角，

故△ABC为钝角三角形．

5．（2018·桂林质检）在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（　　）

A．有一解B．有两解

C．无解D．有解但解的个数不确定

答案　C

解析　由正弦定理得＝，

∴sinB＝＝＝>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

6．（2018·包头模拟）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.

答案　

解析　由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，

所以cosC＝＝＝－.

因为C∈（0，π），所以C＝.

题型一　利用正弦、余弦定理解三角形

例1（2018·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.

（1）求角B的大小；

（2）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A－B）的值．

解　

（1）在△ABC中，由正弦定理＝，

可得bsinA＝asinB.

又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，

即sinB＝cos，所以tanB＝.

又因为B∈（0，π），所以B＝.

（2）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.

由bsinA＝acos，可得sinA＝.

因为a

因此sin2A＝2sinAcosA＝，

cos2A＝2cos2A－1＝.

所以sin（2A－B）＝sin2AcosB－cos2AsinB

＝×－×＝.

思维升华

（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．

跟踪训练1　

（1）（2018·天津河西区模拟）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，则B的大小为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

答案　D

解析　因为sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，

所以b2－c2－a2＝ac，

即a2＋c2－b2＝－ac，

则cosB＝＝－，

又0°

（2）如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为．

答案　

解析　设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，

∴sinC＝＝.

题型二　和三角形面积有关的问题

例2　（2018·济南模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.

（1）证明：

tanB＝－3tanA；

（2）若b2＋c2＝a2＋bc，且△ABC的面积为，求a.

（1）证明　根据正弦定理，由已知得

sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin（A＋B），

展开得sinBcosA－cosBsinA＝2（sinBcosA＋cosBsinA），

整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，

所以tanB＝－3tanA.

（2）解　由已知得b2＋c2－a2＝bc，

所以cosA＝＝＝，

由0

由0

由S＝acsin＝×a2＝，得a＝2.

思维升华

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

跟踪训练2

（1）（2018·承德质检）若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为（　　）

A．2B.C.D．3

答案　A

解析　设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，

得S△ABC＝·AB·BCsinB＝x.①

根据余弦定理，得

cosB＝＝＝.②

将②代入①，得

S△ABC＝x＝.

由三角形的三边关系，得

解得2－2

故当x＝2时，S△ABC取得最大值2，故选A.

（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是________．

答案　

解析　∵c2＝（a－b）2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝，

∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②

由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.

∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.

题型三　正弦定理、余弦定理的应用

命题点1　判断三角形的形状

例3

（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是（　　）

A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

答案　C

解析　方法一　由余弦定理可得a＝2b·，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，

从而△ABC为等腰三角形．

方法二　由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，

因此sin（B＋C）＝2sinBcosC，

即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，

于是sin（B－C）＝0，因此B－C＝0，即B＝C，

故△ABC为等腰三角形．

（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

答案　B

解析　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，

∴sin（B＋C）＝sin2A，

即sin（π－A）＝sin2A，sinA＝sin2A.

∵A∈（0，π），∴sinA>0，∴sinA＝1，

即A＝，∴△ABC为直角三角形．

引申探究

1．本例

（2）中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．

解　∵2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B），

∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sin（A－B）＝0.

又A，B为△ABC的内角．

∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．

2．本例

（2）中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．

解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，

又0

又由2cosAsinB＝sinC得sin（B－A）＝0，∴A＝B，

故△ABC为等边三角形．

命题点2　求解几何计算问题

例4（2018·云南11校跨区调研）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.

（1）求sin∠ABD的值；

（2）若∠BCD＝，求CD的长．

解　

（1）因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，

AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝，

所以由余弦定理，得（）2＝（3k）2＋（2k）2－2×3k×2kcos，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，

sin∠ABD＝＝＝.

（2）因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，

所以sin∠DBC＝，所以＝，

所以CD＝＝.

思维升华

（1）判断三角形形状的方法

①化边：

通过因式分解、配方等得出边的相应关系．

②化角：

通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

（2）求解几何计算问题要注意：

①根据已知的边角画出图形并在图中标示；

②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．

跟踪训练3　

（1）（2018·安徽六校联考）在△ABC中，cos2＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形