正弦定理和余弦定理.docx

1、正弦定理和余弦定理2021年新高考数学总复习第四章三角函数、解三角形正弦定理和余弦定理1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2在ABC中，已知

2、a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?提示在ABC中，由AB可推出sin Asin B.2如图，在ABC中，有如下结论：bcos Cccos Ba.试类比写出另外两个式子提示acos Bbcos Ac；acos Cccos Ab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边

3、之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为 答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，

4、b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则C .答案解析由3sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018天津)在ABC中，内

5、角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，所以cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.思维升华

6、(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)(2018天津河西区模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Bsin2Csin2Asin Asin C，则B的大小为()A30 B60 C120 D150答案D解析因为sin2Bsin2Csin2Asin Asin C，所以b2c2a2ac，即a

7、2c2b2ac，则cos B，又0B180，则B150.(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为 答案解析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.题型二和三角形面积有关的问题例2(2018济南模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos Aacos B2c.(1)证明：tan B3tan A；(2)若b2c2a2bc，且ABC的面积为，求a.(1)证明根据正弦定理，由已知得sin Bcos Acos Bsin

8、A2sin C2sin(AB)，展开得sin Bcos Acos Bsin A2(sin Bcos Acos Bsin A)，整理得sin Bcos A3cos Bsin A，所以tan B3tan A.(2)解由已知得b2c2a2bc，所以cos A，由0A，得A，tan A，tan B，由0B，得B，所以C，ac，由Sacsin a2，得a2.思维升华 (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2 (1)(2018承德质检)若AB2，ACBC，则SABC的最大

9、值为()A2 B. C. D3答案A解析设BCx，则ACx.根据三角形的面积公式，得SABCABBCsin Bx.根据余弦定理，得cos B.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x0，sin A1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状

10、解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2求解几何计算问题例4 (2018云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的长解(1)因为ADAB23，所以可设AD2k，AB3k.又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos ，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理跟踪训练3(1)(2018安徽六校联考)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形