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第十四章幂级数（10时）
§1幂级数（4时）
幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.
幂级数是最简单的函数项级数之一.
一.幂级数的收敛域:
Th1（Abel定理）若幂级数在点收敛,则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.
证收敛,{}有界.设||,有|,其中..
定理的第二部分系第一部分的逆否命题.
幂级数和的收敛域的结构.
定义幂级数的收敛半径R.
收敛半径R的求法.
Th2对于幂级数,若,则
ⅰ>时,;ⅱ>时;ⅲ>时.
证,（强调开方次数与的次数是一致的）.
……
由于,因此亦可用比值法求收敛半径.
幂级数的收敛区间:
.
幂级数的收敛域:
一般来说,收敛区间收敛域.幂级数的收敛域是区间、、或之一.
例1求幂级数的收敛域.（）
例2求幂级数的收敛域.（）
例3求下列幂级数的收敛域:
⑴;⑵.
例4求级数的收敛域.
Ex[1]P50—511.
二．幂级数的一致收敛性：
Th3若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.
证,设,则对,有
级数绝对收敛,由优级数判别法幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.
Th4设幂级数的收敛半径为,且在点（或）收敛,则幂级数在区间（或）上一致收敛.
证.收敛,函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.
易见,当幂级数的收敛域为（时,该幂级数即在区间上一致收敛.
三.幂级数的性质:
1.逐项求导和积分后的级数:
设,
*）和**）仍为幂级数.我们有
Th5*）和**）与有相同的收敛半径.（简证）
注:
*）和**）与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域,例如级数.
2.幂级数的运算性质:
定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：
它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.
Th6.
Th7设幂级数和的收敛半径分别为和,,则
ⅰ>,—常数，.
ⅱ>+,.
ⅲ>（）（）,,.
3.和函数的性质:
Th8设在（内.则
ⅰ>在内连续;
ⅱ>若级数或收敛,则在点（或）是左（或右）连续的;
ⅲ>对,在点可微且有;
ⅳ>对,在区间上可积,且.
注:
当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:
由级数收敛,得函数在点左连续,因此有.
推论1和函数在区间内任意次可导,且有
……
.
注:
由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.
推论2若,则有
例5验证函数满足微分方程.
验证所给幂级数的收敛域为.
.
代入,.
例6由于,.
所以,.
.
Ex[1]P50—514,5，6.
§2函数的幂级数展开（4时）
一.函数的幂级数展开:
1.Taylor级数:
设函数在点有任意阶导数.
Taylor公式和Maclaurin公式.
Taylor公式：
.
余项的形式:
Peano型余项:
（只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）
Lagrange型余项:
在与之间.
或.
积分型余项:
当函数在点的某邻域内有阶连续导数时,有
.
Cauchy余项:
在上述积分型余项的条件下,有Cauchy余项
.
特别地，时，Cauchy余项为
在与之间.
Taylor级数:
Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时,得
称此级数为函数在点的Taylor级数.只要函数在点无限次可导,就可
写出其Taylor级数.称=时的Taylor级数为Maclaurin级数,即级数.
自然会有以下问题:
对于在点无限次可导的函数,在的定义域内或在点的某邻域内,函数和其Taylor级数是否相等呢?
2．函数与其Taylor级数的关系：
例1函数在点无限次可微.求得,
.其Taylor级数为.该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.
那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?
回答也是否定的.
例2函数在点无限次可导且有因此Taylor级数，在内处处收敛.但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等.
另一方面,由本章§1Th8推论2（和函数的性质）知:
在点的某邻域内倘有,则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.
综上,我们有如下结论:
⑴对于在点无限次可导的函数,其Taylor级数可能除点外均发散,即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛,和函数也未必就是.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.
⑵若幂级数在点的某邻域内收敛于函数,则该幂级数就是函数在点的Taylor级数.
于是,为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.
3．函数的Taylor展开式：
若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级数（自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式.简称函数在点可展为幂级数.当=0时,称Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.
4.可展条件:
Th1（必要条件）函数在点可展在点有任意阶导数.
Th2（充要条件）设函数在点有任意阶导数.则在区间内等于其Taylor级数（即可展）的充要条件是:
对,有.其中是Taylor公式中的余项.
证把函数展开为阶Taylor公式,有
.
Th3（充分条件）设函数在点有任意阶导数,且导函数所成函数列一致有界,则函数可展.
证利用Lagrange型余项,设,则有
.
例3展开函数ⅰ>按幂;ⅱ>按幂.
解
.
所以,ⅰ>.
可见,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身.
ⅱ>
.
Ex[1]P581，3⑴.
二.初等函数的幂级数展开式:
初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.
为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.
1..（验证对R，在区间（或）上有界,得一致有界.因此可展）.
.
2.,.
.
可展是因为在内一致有界.
3.二项式的展开式:
为正整数时,为多项式,展开式为其自身;
为不是正整数时,可在区间内展开为
对余项的讨论可利用Cauchy余项.具体讨论参阅[1]P56.
进一步地讨论可知（参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第二分册.）:
当时,收敛域为;
当时,收敛域为;
当时,收敛域为.
利用二项式的展开式,可得到很多函数的展开式.例如
取,得，.
取时,得,.
间接展开:
利用已知展开式,进行变量代换、四则运算以及微积运算,可得到一些函数的展开式.利用微积运算时,要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.
4..
.
事实上,利用上述的展开式,两端积分,就有
.
验证知展开式在点收敛,因此,在区间上该展开式成立.
5..
由.两端积分,有
验证知上述展开式在点收敛,因此该展开式在区间上成立.
例4展开函数.
解
.
例5展开函数.
解
.
Ex[1]P582⑴―⑼,3⑵（提示）.
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1、理想的路总是为有信心的人预备着。
2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
——罗曼·罗兰
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——丁玲
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